فصل ۵ ریاضی نهم - عبارت‌های جبری
📚 ریاضی پایه نهم

فصل ۵: عبارت‌های جبری

چندجمله‌ای‌ها • اتحادها • تجزیه • کسر جبری

📐
🧮
✖️
🔍
📊 پیشرفت یادگیری ۰٪
۰ از ۱۰ بخش تکمیل‌شده
📝
عبارت جبری و چندجمله‌ای
تعریف، درجه، جملات همانند

📌 مفاهیم پایه

عبارت جبری ترکیبی از اعداد و حروف (متغیرها) با عملیات ریاضی. چندجمله‌ای عبارتی که فقط جمع، تفریق و ضرب متغیرها با توان طبیعی دارد.

📋 اصطلاحات مهم:

  • ضریب: عدد ضرب‌شده در متغیر → ضریب 3x² عدد ۳ است
  • درجه جمله: توان متغیر → درجه 3x² = ۲
  • درجه چندجمله‌ای: بالاترین درجه بین جملات
  • جملات همانند: بخش حرفی یکسان (3x² و -5x²)
💡 مثال

P(x) = 3x³ − 2x² + 5x − 7
→ درجه: ۳ | تعداد جملات: ۴
→ ضریب x³: عدد ۳ | جمله ثابت: -7

نکات طلایی
  • ضریب x یعنی ۱ (نوشته نمی‌شود ولی هست!)
  • 3x² و 3x همانند نیستند (توان متفاوت)
  • عدد ثابت (مثل ۷) درجه‌اش صفر است

🎨 نمودار ساختاری

P(x) = 3x² − 5x + 2 3x² ضریب: ۳ درجه: ۲ جمله درجه ۲ − 5x ضریب: -۵ درجه: ۱ جمله درجه ۱ + 2 ضریب: ۲ درجه: ۰ جمله ثابت 🏆 درجه چندجمله‌ای = ۲ ⚡ جملات همانند = بخش حرفی (متغیر و توان) یکسان
هر چندجمله‌ای از جملاتی تشکیل شده که هرکدام ضریب و درجه خاص خود را دارند. درجه کل = بیشترین درجه جملات.
➕
جمع و تفریق چندجمله‌ای‌ها
جمع همانندها و ساده‌سازی

برای جمع/تفریق: جملات همانند را پیدا کن و ضرایبشان را جمع/تفریق کن.

(ax² + bx + c) ± (dx² + ex + f) = (a±d)x² + (b±e)x + (c±f)
💡 مثال جمع

(3x² + 2x − 1) + (x² − 4x + 5)
= (3+1)x² + (2−4)x + (−1+5)
= 4x² − 2x + 4

💡 مثال تفریق

(5x³ − 2x + 3) − (2x³ + x² − x + 1)
= 5x³ − 2x + 3 − 2x³ − x² + x − 1
= 3x³ − x² − x + 2

اشتباهات رایج
  • در تفریق علامت «همه» جملات دوم عوض می‌شود!
  • x² و x جمع نمی‌شوند (توان متفاوت)

🎨 نمودار

جمع: (3x²+2x-1) + (x²-4x+5) P: 3x² + 2x − 1 + Q: x² − 4x + 5 ضرایب همانندها جمع می‌شوند: (3+1)x² (2−4)x (−1+5) = 4x² − 2x + 4
جملات با توان یکسان زیر هم قرار می‌گیرند و ضرایبشان جمع می‌شوند.
✖️
ضرب چندجمله‌ای‌ها
روش جدولی و توزیعی
a(b + c) = ab + ac
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
💡 تک‌جمله × چندجمله

2x(3x² − x + 4)
= 6x³ − 2x² + 8x

💡 دوجمله × دوجمله

(x + 3)(x − 2)
= x² − 2x + 3x − 6
= x² + x − 6

نکات مهم
  • ضرایب عددی ضرب می‌شوند
  • توان‌های متغیر یکسان جمع می‌شوند
  • بعد از ضرب، همانندها را جمع کن

🎨 جدول ضرب

روش جدولی: (x+3)(x−2) × x −2 x +3 x² −2x +3x −6 همانندها: −2x + 3x = x = x² + x − 6 ✨ هر خانه = حاصل‌ضرب سر ستون × سر ردیف
روش جدولی: ضرب هر جمله ستون در هر جمله ردیف. سپس خانه‌ها را جمع و همانندها ساده کن.
📐
اتحاد مربع مجموع و تفاضل
(a±b)² — کلیدی‌ترین اتحاد
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
💡 مثال‌ها

(x + 3)² = x² + 6x + 9
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
(3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b²

شایع‌ترین اشتباه
  • (a+b)² ≠ a²+b² ← جمله 2ab فراموش نشود!
  • (a-b)² ← جمله آخر (+b²) همیشه مثبت است
حفظی
  • اول² + دو.اول.دوم + دوم²
  • علامت جمله وسط = علامت بین a و b

🎨 اثبات هندسی

🔬 اثبات هندسی (a+b)² = a²+2ab+b² a + b a + b a b a b a² ab ab b² (a+b)² = a² + 2ab + b²
مربعی به ضلع (a+b) از ۴ قسمت تشکیل شده: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². دو ناحیه ab سبز رنگ همان جمله 2ab هستند!
🔗
اتحاد مزدوج (تفاضل دو مربع)
(a+b)(a−b) = a²−b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

جملات وسط (+ab و -ab) خنثی می‌شوند! فقط تفاضل دو مربع باقی می‌ماند.

💡 مثال‌ها

(x+5)(x-5) = x² - 25
(2x+3)(2x-3) = 4x² - 9
(√3+√2)(√3-√2) = 3 - 2 = 1

💡 محاسبه سریع

51 × 49 = (50+1)(50-1) = 2500-1 = 2499
102 × 98 = (100+2)(100-2) = 9996

🎨 نمودار

چرا (a+b)(a-b) = a²-b²؟ بسط دهیم: (a+b)(a-b) = a²−ab+ab−b² 🎯 −ab و +ab همدیگر را حذف می‌کنند! = a² − b² تصویر: a² − b² = (a+b)(a-b)
🧊
اتحادهای مکعب
a³±b³ — مجموع و تفاضل
a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
💡 مثال‌ها

x³ + 8 = (x+2)(x²-2x+4)
27a³ - 1 = (3a-1)(9a²+3a+1)
8x³ + 125 = (2x+5)(4x²-10x+25)

حفظی
  • فاکتور اول: هم‌علامت اصلی (a+b یا a-b)
  • فاکتور دوم: مربع−ضرب+مربع یا مربع+ضرب+مربع
  • فقط علامت جمله وسط فاکتور دوم تغییر می‌کند!
مقایسه دو اتحاد مکعب ✅ مجموع مکعب‌ها a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) ✅ تفاضل مکعب‌ها a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) ⚡ علامت‌های رنگی جابجا می‌شوند — بقیه ثابتند
🔧
تجزیه: فاکتورگیری
بیرون آوردن عامل مشترک
ab + ac = a(b + c)

فاکتورگیری = پیدا کردن ب.م.م ضرایب و کمترین توان متغیر مشترک.

💡 مثال‌ها

6x³ + 4x² = 2x²(3x + 2)
15a²b − 10ab² = 5ab(3a − 2b)
x² + x = x(x + 1)
12x³y² − 8x²y + 4xy = 4xy(3x²y − 2x + 1)

فاکتورگیری 6x³ + 4x² ① ب.م.م(6,4) = 2 ② min(x³,x²) = x² ③ عامل مشترک = 2x² 6x³+4x² = 2x²(3x+2)
🔍
تجزیه با اتحادها
شناسایی الگو و تجزیه معکوس

🗺️ نقشه تشخیص الگو:

  • a²−b² → (a+b)(a−b)
  • a²+2ab+b² → (a+b)²
  • a²−2ab+b² → (a−b)²
  • a³±b³ → اتحاد مکعب
💡 مثال‌ها

x² − 9 = (x+3)(x−3)
x² + 6x + 9 = (x+3)²
4x² − 12x + 9 = (2x−3)²
8x³ − 27 = (2x−3)(4x²+6x+9)

راهنمای تشخیص مربع کامل
  • جمله اول و آخر باید مربع کامل باشند
  • جمله وسط = 2 × ریشه‌اول × ریشه‌آخر

🎨 نقشه تجزیه

🗺️ نقشه تجزیه: کدام روش؟ عبارت جبری ⚡ اول: فاکتورگیری! دوجمله‌ای سه‌جمله‌ای a²-b² → مزدوج a³±b³ → مکعب (a±b)² مربع کامل x²+bx+c 💡 بعد از تجزیه، بررسی کن آیا هر عامل باز قابل تجزیه است؟
🎯
تجزیه سه‌جمله‌ای x²+bx+c
روش حدس و آزمایش
x² + bx + c = (x+m)(x+n) → m+n=b , m×n=c
💡 x² + 5x + 6

m + n = 5 , m × n = 6
→ m=2, n=3
= (x+2)(x+3) ✓

💡 x² − x − 12

m + n = −1 , m × n = −12
→ m=3, n=−4
= (x+3)(x−4) ✓

راهنما
  • c مثبت → m,n هم‌علامت (علامت b)
  • c منفی → m,n ناهم‌علامت
  • همیشه صحت‌سنجی کن!
تجزیه x² + 5x + 6 x² + 5x + 6 دو عدد: مجموع = ۵ و حاصل‌ضرب = ۶ 🔎 جستجو: 1×6 → 1+6=7 ✗ 2×3 → 2+3=5 ✓ (-1)×(-6) → ✗ → m=2 , n=3 (x+2)(x+3) ✅ صحت: (x+2)(x+3) = x²+3x+2x+6 = x²+5x+6 ✓
➗
ساده‌سازی کسر جبری
تجزیه صورت و مخرج، حذف مشترک

برای ساده‌سازی: صورت و مخرج را تجزیه کن، سپس عامل مشترک را حذف کن.

💡 مثال‌ها

(x²−9)/(x+3)
= (x+3)(x−3)/(x+3)
= x−3 (x≠−3)

(x²+5x+6)/(x+2)
= (x+2)(x+3)/(x+2)
= x+3 (x≠−2)

فراموش نکن!
  • شرط مخرج ≠ 0 را حتماً بنویس
  • فقط عامل مشترک (نه جمله!) حذف می‌شود
ساده‌سازی (x²−9)/(x+3) ① x²−9 = (x+3)(x−3) ② (x+3)(x−3) / (x+3) ③ حذف (x+3) از صورت و مخرج ✂️ = x − 3 (x≠−3)
📐 بسط (a+b)²
—
📐 بسط (a−b)²
—
🔗 اتحاد مزدوج (a+b)(a−b)
—
🔍 تجزیه x²+bx+c
—
سوال ۱ از ۱۲ 🏆 نمره: ۰
📝 چندجمله‌ای
P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀

درجه = بزرگترین توان | همانندها: حرفی یکسان

➕ جمع/تفریق
فقط همانندها جمع می‌شوند

تفریق: علامت تمام جملات دوم عوض شود!

✖️ ضرب
a(b+c) = ab + ac

هر جمله × همه جملات + جمع همانندها

📐 مربع مجموع
(a+b)² = a²+2ab+b²

⚠ جمله 2ab فراموش نشود!

📐 مربع تفاضل
(a−b)² = a²−2ab+b²

جمله آخر همیشه +b² (مثبت!)

🔗 اتحاد مزدوج
(a+b)(a−b) = a²−b²

جملات وسط حذف ← فقط تفاضل مربع‌ها

🧊 مجموع مکعب
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

هم‌علامت × (مربع−ضرب+مربع)

🧊 تفاضل مکعب
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

هم‌علامت × (مربع+ضرب+مربع)

🔧 فاکتورگیری
ab+ac = a(b+c)

اولین قدم تجزیه: عامل مشترک بیرون!

🎯 تجزیه x²+bx+c
(x+m)(x+n) → m+n=b, mn=c

دو عدد پیدا کن: مجموع b، حاصل‌ضرب c

➗ کسر جبری
تجزیه → حذف عامل مشترک

شرط مخرج ≠ 0 فراموش نشود!

⚠ اشتباه رایج!
(a+b)² ≠ a² + b²

جمله 2ab حتماً باید باشد!