پایه هفتم · دوره اول متوسطه
فصل ۷: توان و جذر
ریاضی پایه هفتم — آموزش تعاملی توان، قوانین توان، جذر و نماد علمی
اعداد بزرگ را کوتاه بنویس، قانونهای توان را یاد بگیر و جذر اعداد را پیدا کن.
پیشرفت مطالعه
۰ از ۸ بخش یاد گرفتم۰٪
بخشهای آموزشی فصل هفتم
معرفی توان
ضربهای تکراری را کوتاه بنویس
یاد گرفتم
وقتی عددی را چند بار در خودش ضرب میکنیم، بهجای تکرار ضرب از توان استفاده میکنیم. عددی که تکرار میشود پایه و تعداد دفعات ضرب نما (توان) نام دارد.
📐 تعریف توان
aⁿ = a × a × a × … × a (n بار تکرار)a = پایه | n = نما (توان)
✅ مثال حلشده
2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 165³ = 5 × 5 × 5 = 125
10² = 10 × 10 = 100
💡 نکات امتحانی
• هر عددی به توان ۱ برابر خودش است: a¹ = a• پایه و نما را جابهجا نکن: 2³ = 8 ولی 3² = 9
• توان یعنی ضرب تکراری، نه «ضربدر نما»!
ساختار توان: پایه، نما و نتیجه
توان صفر و توان یک
دو قانون ویژه و مهم
یاد گرفتم
📐 قوانین ویژه
a⁰ = 1 (وقتی a ≠ 0)a¹ = a (همیشه)
1ⁿ = 1 (برای هر n)
✅ مثالها
7⁰ = 1 | 100⁰ = 1 | (-3)⁰ = 19¹ = 9 | 1⁵⁰ = 1
💡 نکات
• 0⁰ تعریفنشده است و در امتحان نمیآید.• هر عدد غیرصفر به توان ۰ حتماً ۱ است.
⚠️ اشتباه رایج
5⁰ ≠ 0 ! جواب ۱ است نه ۰.سه قانون ویژهٔ توان
ضرب توانهای همپایه
نماها را جمع کن
یاد گرفتم
وقتی دو توان با پایهٔ یکسان ضرب میشوند، پایه ثابت میماند و نماها با هم جمع میشوند.
📐 قانون ضرب
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ✅ مثال
2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 1285² × 5³ = 5⁵ = 3125
💡 نکات
• فقط وقتی پایهها یکسان باشند قابل سادهسازی است.• نماها جمع میشوند نه ضرب!
⚠️ اشتباه رایج
2³ × 2⁴ ≠ 2¹² ! نماها جمع میشوند: 2⁷ضرب همپایه: پایه ثابت، نماها جمع
تقسیم توانهای همپایه
نماها را تفریق کن
یاد گرفتم
📐 قانون تقسیم
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m ≥ n, a ≠ 0)✅ مثال
3⁵ ÷ 3² = 3⁵⁻² = 3³ = 2710⁶ ÷ 10⁴ = 10² = 100
💡 نکات
• اگر m = n باشد: aⁿ ÷ aⁿ = a⁰ = 1• پایهها حتماً یکسان باشند.
تقسیم همپایه: نماها تفریق
توانرسانی به توان
نماها را ضرب کن
یاد گرفتم
📐 قانون توانرسانی
(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ✅ مثال
(2³)² = 2³ˣ² = 2⁶ = 64(5²)³ = 5⁶ = 15625
💡 نکات
• ضرب ≠ توانرسانی: در ضرب نماها جمع، در توانرسانی نماها ضرب!• (2³)² با 2³ × 2² فرق دارد.
⚠️ اشتباه رایج
ضرب و توانرسانی را قاطی نکن!ضرب: جمع نما | توانرسانی: ضرب نما
مقایسهٔ ضرب همپایه و توانرسانی
جذر (ریشهٔ دوم)
عکس توان دوم
یاد گرفتم
جذر عدد a عددی مثبت مثل b است که b × b = a.
📐 تعریف جذر
اگر b² = a آنگاه √a = b✅ مثال
√4=2 , √9=3 , √16=4 , √25=5√36=6 , √49=7 , √64=8 , √81=9 , √100=10
💡 نکات
• مربعهای کامل: ۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵، ۳۶، ۴۹، ۶۴، ۸۱، ۱۰۰• جذر اعداد منفی در سطح هفتم تعریف نشده.
⚠️ اشتباه رایج
√(9+16) ≠ √9+√16√25 = 5 ولی 3+4 = 7
مربعهای کامل ۱ تا ۱۰ و اخطار جمع زیر رادیکال
ضرب و تقسیم جذرها
سادهسازی عبارتهای رادیکالی
یاد گرفتم
📐 قوانین جذر
√(a×b) = √a × √b√(a÷b) = √a ÷ √b (b ≠ 0)
✅ مثال
√(4×9) = √4 × √9 = 2×3 = 6√(100÷4) = √100 ÷ √4 = 10÷2 = 5
💡 نکات
• این قانون فقط برای ضرب و تقسیم برقرار است!• برای جمع و تفریق کار نمیکند.
قانون جذر فقط برای ضرب و تقسیم — نه جمع!
نماد علمی و جمعبندی
اعداد بزرگ را با توان ۱۰ بنویس
یاد گرفتم
اعداد خیلی بزرگ را با نماد علمی کوتاه مینویسیم.
📐 نماد علمی
a × 10ⁿ که 1 ≤ a < 10✅ مثال
3500 = 3.5 × 10³250000 = 2.5 × 10⁵
10⁶ = 1,000,000 (یک میلیون)
💡 نکات
• نمای ۱۰ = تعداد جابهجایی ممیز• 10³ = 1000 (سه صفر)
توانهای ده و نماد علمی
توانیار — محاسبهگرهای آموزشی
محاسبهٔ توان
محاسبهٔ جذر
عملیات توانها
نماد علمی
آزمون فصل هفتم — ۱۰ سؤال
خلاصهٔ سریع فصل هفتم
تعریف توان
a را n بار در خودش ضرب کن.
ضرب تکراری
توان صفر و یک
a⁰=1 (a≠0) ، a¹=a
عدد ≠ ۰ به توان ۰ = ۱
ضرب همپایه
نماها جمع: aᵐ⁺ⁿ
ضرب → جمع نما
تقسیم همپایه
نماها تفریق: aᵐ⁻ⁿ
تقسیم → تفریق نما
توانرسانی
نماها ضرب: aᵐˣⁿ
توانرسانی → ضرب نما
جذر
√a = b یعنی b²=a
عکس توان دوم
قوانین جذر
√(a×b) = √a × √b
فقط ضرب و تقسیم!
نماد علمی
a × 10ⁿ (1≤a<10)
اعداد بزرگ کوتاه