فصل ۴: توان و جذر
ریاضی پایه هشتم — آموزش جامع، تعاملی و مرور شب امتحان
پایه هشتم · دوره اول متوسطهتوان یعنی یک عدد را چند بار در خودش ضرب کنیم. عدد پایه (base) را به اندازه نما (exponent) در خودش ضرب میکنیم.
✅ مثالها
• 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32
• 3⁴ = 3×3×3×3 = 81
• 5⁰ = 1
• (−2)³ = (−2)×(−2)×(−2) = −8
• (−3)² = (−3)×(−3) = 9
• −3² = −(3²) = −9 ← دقت کنید!
⚡ نکات کلیدی
- هر عدد غیرصفر به توان صفر = ۱
- عدد منفی به توان زوج = مثبت
- عدد منفی به توان فرد = منفی
- (−a)² ≠ −a² ← پرانتز مهم است!
- صفر به هر توان مثبت = صفر
| عدد | توان ۲ | توان ۳ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1000 |
وقتی توانهای همپایه را ضرب میکنیم نماها را جمع، و در تقسیم نماها را تفریق میکنیم.
✅ مثالها
• 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
• 5² × 5⁵ = 5⁷ = 78125
• 3⁶ ÷ 3² = 3⁶⁻² = 3⁴ = 81
• 10⁵ ÷ 10³ = 10² = 100
• x⁷ × x³ = x¹⁰
⚠️ اشتباهات رایج
- ❌ 2³ × 2⁴ ≠ 4⁷ ← پایه تغییر نمیکند!
- ❌ 2³ × 3² نمیتوان سادهسازی کرد (همپایه نیستند)
- ❌ 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷ ← این قانون فقط برای ضرب است!
⚡ نکات
- پایهها باید یکسان باشند
- این قانون برای جمع کار نمیکند
- برای عبارات جبری هم کار میکند: x³ × x² = x⁵
وقتی یک توان را دوباره به توان میرسانیم، نماها در هم ضرب میشوند.
✅ مثالها
• (2³)⁴ = 2³ˣ⁴ = 2¹² = 4096
• (5²)³ = 5⁶ = 15625
• (2×3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16 × 81 = 1296
• (3/4)² = 9/16 = 0.5625
• (x²y³)² = x⁴y⁶
⚠️ اشتباه رایج
- ❌ (2³)⁴ ≠ 2³⁺⁴ ← نماها جمع نمیشوند!
- ✅ (2³)⁴ = 2³ˣ⁴ = 2¹²
- ❌ (a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ ← این برقرار نیست!
توان صفر هر عدد غیرصفر برابر ۱ است. توان منفی معکوس توان مثبت میشود.
✅ مثالها
• 5⁰ = 1
• (−7)⁰ = 1
• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0.125
• 10⁻² = 1/100 = 0.01
• (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9
• 5⁻¹ = 1/5
⚡ نکات
- 0⁰ تعریف نشده است
- a⁻ⁿ ≠ عدد منفی — فقط کسری کوچکتر از ۱ است
- هر چه نمای منفی بزرگتر، عدد کوچکتر
- 10⁻¹=0.1 | 10⁻²=0.01 | 10⁻³=0.001
| توان | مقدار |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
| 2⁻³ | 1/8 |
جذر (ریشه دوم) یک عدد، عددی است که وقتی در خودش ضرب شود آن عدد را بدهد. جذر همیشه غیرمنفی است.
✅ مثالها
• √16 = 4 (چون 4² = 16 و 4 ≥ 0)
• √25 = 5
• √0 = 0
• √1 = 1
• √(9/16) = 3/4
• √((-5)²) = √25 = 5 = |−5|
• √(−4) = تعریف ندارد! (در اعداد حقیقی)
⚡ اعداد مربع کامل
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
- 121, 144, 169, 196, 225
- جذر هر عدد غیرمربع کامل: عدد گنگ است
- √2 ≈ 1.414 | √3 ≈ 1.732 | √5 ≈ 2.236
⚠️ اشتباه رایج
- ❌ √(−9) وجود دارد ← ✅ تعریف ندارد!
- ❌ √(a²) = a ← ✅ √(a²) = |a|
- ❌ √(−3)² = −3 ← ✅ = |−3| = 3
جذر خواص ضرب و تقسیم دارد. جذرهای همنوع (زیر رادیکال یکسان) قابل جمع و تفریقاند.
✅ مثالها
• √3 × √12 = √36 = 6
• √50 ÷ √2 = √25 = 5
• √12 = √(4×3) = 2√3
• √45 = √(9×5) = 3√5
• √72 = √(36×2) = 6√2
• 3√2 + 5√2 = 8√2
• √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
⚠️ اشتباه رایج
- ❌ √(a+b) = √a + √b ← ✅ غلط!
- ❌ √2 + √3 = √5 ← ✅ غلط!
- ✅ فقط جذرهای همنوع جمع میشوند
اعداد حقیقی شامل دو دسته کلی هستند: اعداد گویا (نسبی) و اعداد گنگ (نامگویا). مجموع آنها مجموعه ℝ را میسازد.
✅ مثالها
گویا: √4=2 ، 3/7 ، 0.75 ، 0.3̄ ، −5
گنگ: √2≈1.414... ، √3 ، π ، √5
نکته: √n گنگ است مگر n مربع کامل باشد
مثال: √9=3 گویاست ولی √7 گنگ است
⚡ تشخیص گویا از گنگ
- گویا: اعشاری متناهی یا متناوب (1/3=0.3̄3̄3̄...)
- گنگ: اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب (√2=1.41421...)
- √n گنگ است مگر n مربع کامل باشد
- π و e معروفترین اعداد گنگاند
- جمع گویا + گنگ = گنگ
محاسبهگر توان و جذر
محاسبه توان (aⁿ)
محاسبه جذر (√a)
سادهسازی رادیکال √n
ضرب/تقسیم توان همپایه
توان یک توان (aᵐ)ⁿ
جمع رادیکالهای همنوع
m√n + k√n = (m+k)√n
مرور سریع شب امتحان — خلاصه فرمولها
⚡ تعریف توان
aⁿ = a×a×...×a (n بار) a⁰ = 1 (a≠0) | a¹ = aمنفی زوج: مثبت | منفی فرد: منفی
✖️ ضرب همپایه
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿنماها جمع میشوند (پایه ثابت)
مثال: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
➗ تقسیم همپایه
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)نماها تفریق میشوند
مثال: 3⁶ ÷ 3² = 3⁴ = 81
🔁 توان یک توان
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿمثال: (2³)⁴ = 2¹² = 4096
⬇️ توان منفی
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0) (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿمثال: 2⁻³ = 1/8 | 10⁻² = 0.01
√ تعریف جذر
√a = b ⟺ b²=a, b≥0 √(a²) = |a|جذر منفی وجود ندارد (در ℝ)
✖️ خواص جذر
√a × √b = √(ab) √a ÷ √b = √(a/b)مثال: √3 × √12 = √36 = 6
✂️ سادهسازی
√(m²n) = m√n (m≥0) m√n + k√n = (m+k)√n√72 = 6√2 | √48 = 4√3
🔢 اعداد حقیقی
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝگویا: اعشاری متناهی/متناوب
گنگ: اعشاری نامتناهی غیرمتناوب
🚨 نکات طلایی امتحان
- (−a)ⁿ ≠ −aⁿ — پرانتز مهم است!
- a⁰ = 1 برای هر a ≠ 0
- 0⁰ تعریف نشده است
- √(−n) در اعداد حقیقی وجود ندارد
- √(a²) = |a| نه a
- √a + √b ≠ √(a+b)
- aᵐ × aⁿ ≠ aᵐˣⁿ — ضرب پایه نیست!
- (aᵐ)ⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ — توان توان: ضرب نما
- √n گنگ است مگر n مربع کامل باشد
- جذرهای همنوع جمع میشوند، غیرهمنوع نه