۰٪
پیشرفت یادگیری
هنوز هیچ موضوعی را تکمیل نکردهای. شروع کن! 🚀
۰
مبحث یاد گرفته
۰
سؤال درست
۸
کل مباحث
۱۶
کل سؤالات کوییز
مباحث آموزشی فصل اول
درس ۱
یادآوری عددهای صحیح
مجموعه اعداد صحیح، محور اعداد، مقایسه و مرتبسازی اعداد صحیح، قدرمطلق و قرینه.
ℤ = { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
مثال: اعداد ۵- و ۲ و ۰ و ۳- را از کوچک به بزرگ مرتب کن:
۵- < ۳- < ۰ < ۲
قدرمطلق: |−۹| = ۹ | |۴| = ۴
۵- < ۳- < ۰ < ۲
قدرمطلق: |−۹| = ۹ | |۴| = ۴
- روی محور اعداد، هرچه به راست برویم عدد بزرگتر است.
- قدرمطلق = فاصله عدد تا صفر، همیشه ≥ ۰
- قرینه هر عدد همان عدد با علامت مخالف است.
- بین دو عدد منفی، آنکه قدرمطلق کمتری دارد بزرگتر است.
جمعبندی: ℤ شامل اعداد مثبت، منفی و صفر است. |a| = فاصله تا صفر. روی محور: راست = بزرگتر.
درس ۱
جمع و تفریق عددهای صحیح
قوانین جمع همعلامت و غیرهمعلامت، تبدیل تفریق به جمع با قرینه.
a − b = a + (−b)
(−a) + (−b) = −(a+b)
(−a) + (−b) = −(a+b)
مثال ۱: (−۱۲) + (−۸) = −۲۰ (همعلامت: جمع + علامت مشترک)
مثال ۲: (−۳) − (−۵) = (−۳) + ۵ = ۲ (تفریق = جمع با قرینه)
مثال ۲: (−۳) − (−۵) = (−۳) + ۵ = ۲ (تفریق = جمع با قرینه)
- همعلامت: قدرمطلقها را جمع کن + علامت مشترک.
- غیرهمعلامت: اختلاف قدرمطلقها + علامت بزرگتر.
- تفریق را به جمع با قرینه تبدیل کن: a − b = a + (−b)
جمعبندی: تفریق = جمع با قرینه. همعلامت → جمع قدرمطلق. غیرهمعلامت → اختلاف قدرمطلق.
درس ۱
ضرب و تقسیم عددهای صحیح
قوانین علامت در ضرب و تقسیم، تعداد علامتهای منفی در ضرب چند عدد.
(+)×(+)=(+) (−)×(−)=(+)
(+)×(−)=(−) (−)×(+)=(−)
(+)×(−)=(−) (−)×(+)=(−)
مثال ۱: (−۳) × (−۴) = +۱۲ (منفی×منفی = مثبت)
مثال ۲: (−۲)×(−۳)×(−۱) = −۶ (سه تا منفی = فرد = منفی)
مثال ۲: (−۲)×(−۳)×(−۱) = −۶ (سه تا منفی = فرد = منفی)
- همعلامت → مثبت | غیرهمعلامت → منفی
- تعداد منفیها زوج → نتیجه مثبت
- تعداد منفیها فرد → نتیجه منفی
- تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
جمعبندی: منفی×منفی=مثبت. تعداد منفیها را بشمار: زوج→مثبت، فرد→منفی.
درس ۲
معرفی عددهای گویا
تعریف عدد گویا، نمایش به صورت کسر، رابطه مجموعههای عددی ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
ℚ = { a/b | a,b ∈ ℤ , b ≠ 0 }
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
مثال ۱: ۷- = (−۷)/۱ → عدد گویا است ✓
مثال ۲: ۰٫۷۵ = ۳/۴ → عدد گویا است ✓
مثال ۳: √۲ = ۱٫۴۱۴... → گویا نیست ✗
مثال ۲: ۰٫۷۵ = ۳/۴ → عدد گویا است ✓
مثال ۳: √۲ = ۱٫۴۱۴... → گویا نیست ✗
- هر عدد صحیح، گویا هم هست.
- اعشاری متناهی و متناوب → گویا هستند.
- اعشاری نامتناهی غیرمتناوب (√۲، π) → گویا نیستند.
جمعبندی: عدد گویا = a/b با b≠0. اعشاری متناوب هم گویاست. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
درس ۲
جمع و تفریق کسرها
مخرج مشترک گرفتن (ک.م.م)، جمع و تفریق کسرهای گویا و سادهسازی.
a/b ± c/d → مخرج مشترک → جمع/تفریق صورتها
مثال ۱: ۲/۳ + ۱/۴ = ۸/۱۲ + ۳/۱۲ = ۱۱/۱۲
مثال ۲: ۵/۶ − ۱/۲ = ۵/۶ − ۳/۶ = ۲/۶ = ۱/۳
مثال ۲: ۵/۶ − ۱/۲ = ۵/۶ − ۳/۶ = ۲/۶ = ۱/۳
- اول ک.م.م مخرجها را پیدا کن.
- اگر مخرجها یکسان بودند مستقیم جمع/تفریق کن.
- جواب را حتماً ساده کن.
- هرگز صورتها و مخرجها را جداگانه جمع نزن!
جمعبندی: ۱/۲ + ۱/۳ ≠ ۲/۵ (اشتباه رایج!). باید مخرج مشترک بگیری: ۳/۶ + ۲/۶ = ۵/۶
درس ۲
ضرب و تقسیم کسرها
ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج، تقسیم با ضرب در معکوس، سادهسازی قطری.
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
مثال ۱: (۳/۴) × (۲/۵) = ۶/۲۰ = ۳/۱۰
مثال ۲: (۵/۶) ÷ (۱۰/۳) = (۵/۶) × (۳/۱۰) = ۱۵/۶۰ = ۱/۴
مثال ۲: (۵/۶) ÷ (۱۰/۳) = (۵/۶) × (۳/۱۰) = ۱۵/۶۰ = ۱/۴
- تقسیم = ضرب در معکوس کسر دوم.
- سادهسازی قطری قبل از ضرب: صورت یکی با مخرج دیگری.
- معکوس a/b = b/a (فقط a,b ≠ ۰)
- حاصلضرب عدد در معکوسش = ۱
جمعبندی: ضرب کسر: صورت×صورت / مخرج×مخرج. تقسیم: کسر اول × معکوس کسر دوم.
درس ۳
اعداد اعشاری و تبدیلها
تبدیل کسر به اعشاری و بالعکس، اعشاری متناهی و متناوب، تبدیل اعشاری متناوب به کسر.
کسر → اعشاری: صورت ÷ مخرج
اعشاری متناهی → کسر: عدد / ۱۰ⁿ
اعشاری متناهی → کسر: عدد / ۱۰ⁿ
مثال ۱: ۷/۸ = ۷ ÷ ۸ = ۰٫۸۷۵ (متناهی)
مثال ۲: ۰٫۷۵ = ۷۵/۱۰۰ = ۳/۴
مثال ۳: ۰٫۳۳۳... = ۱/۳ (متناوب با دوره ۳)
مثال ۲: ۰٫۷۵ = ۷۵/۱۰۰ = ۳/۴
مثال ۳: ۰٫۳۳۳... = ۱/۳ (متناوب با دوره ۳)
- اگر مخرج فقط شامل عوامل ۲ و ۵ باشد: اعشاری متناهی.
- در غیر این صورت: اعشاری متناوب (نامتناهی دورهای).
- هر دو نوع گویا هستند!
جمعبندی: عوامل مخرج فقط ۲ و ۵ → متناهی. بقیه → متناوب. هر دو گویا هستند.
درس ۳
ترتیب انجام عملیات
اولویتبندی عملیات ریاضی (پَتَضج)، پرانتز تو در تو، عبارات ترکیبی.
پرانتز ← توان ← ضرب/تقسیم ← جمع/تفریق
«پَتَضج»
«پَتَضج»
مثال ۱: ۳ + ۲ × ۴ = ۳ + ۸ = ۱۱ (اول ضرب!)
مثال ۲: (−۲) × (۳ + ۵) ÷ ۴ = (−۲) × ۸ ÷ ۴ = −۱۶ ÷ ۴ = −۴
مثال ۲: (−۲) × (۳ + ۵) ÷ ۴ = (−۲) × ۸ ÷ ۴ = −۱۶ ÷ ۴ = −۴
- اول پرانتزها (از داخلیترین شروع کن).
- ضرب و تقسیم اولویت یکسان دارند: از چپ به راست.
- جمع و تفریق هم اولویت یکسان: از چپ به راست.
جمعبندی: ۲+۳×۴ = ۱۴ نه ۲۰. پَتَضج را فراموش نکن!
جدول فرمولها و نکات کلیدی
📋 فرمولهای اصلی فصل اول
| مبحث | فرمول / رابطه | مثال |
|---|---|---|
| قدرمطلق | |a| ≥ 0 | |−7| = 7 |
| قرینه | قرینه a = −a | قرینه −5 = 5 |
| تفریق صحیح | a − b = a + (−b) | (−3)−(−5) = (−3)+5 = 2 |
| ضرب علامت | (−)×(−) = (+) | (−4)×(−3) = 12 |
| عدد گویا | a/b , b≠0 | 3/4 , −2/7 |
| جمع کسر | a/b + c/d = (ad+bc)/bd | 1/2+1/3 = 5/6 |
| ضرب کسر | a/b × c/d = ac/bd | 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 |
| تقسیم کسر | a/b ÷ c/d = a/b × d/c | 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 |
| معکوس | معکوس a/b = b/a | معکوس 3/5 = 5/3 |
| رابطه مجموعهها | ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ | 2∈ℕ, −3∈ℤ, 1/2∈ℚ |
نکات تفصیلی هر مبحث
🔵 قدرمطلق و قرینه
|a| = a اگر a ≥ 0 | |a| = −a اگر a < 0
|−۸| = ۸ | |۵| = ۵ | |۰| = ۰
قرینه ۷ = −۷ | قرینه −۴ = ۴ | قرینه ۰ = ۰
قرینه ۷ = −۷ | قرینه −۴ = ۴ | قرینه ۰ = ۰
- قدرمطلق هیچگاه منفی نمیشود.
- قرینه صفر، خود صفر است.
- |a| = |−a| همیشه برقرار است.
➕ قوانین جمع اعداد صحیح
همعلامت: مجموع قدرمطلق + علامت مشترک
غیرهمعلامت: اختلاف قدرمطلق + علامت بزرگتر
غیرهمعلامت: اختلاف قدرمطلق + علامت بزرگتر
(−۶) + (−۴) = −۱۰ (همعلامت)
(−۱۰) + ۷ = −۳ (چون |۱۰| > |۷| علامت منفی)
(−۱۰) + ۷ = −۳ (چون |۱۰| > |۷| علامت منفی)
- جمع جابهجایی دارد: a+b = b+a
- جمع شرکتپذیر است: (a+b)+c = a+(b+c)
✖️ قوانین ضرب و تقسیم
(+)×(+) = + (−)×(−) = +
(+)×(−) = − (−)×(+) = −
(+)×(−) = − (−)×(+) = −
(−۲)×(−۳)×(−۴) → ۳ تا منفی (فرد) → نتیجه منفی → −۲۴
(−۲)×(−۳)×(−۴)×(−۱) → ۴ تا منفی (زوج) → +۲۴
(−۲)×(−۳)×(−۴)×(−۱) → ۴ تا منفی (زوج) → +۲۴
- منفیها را بشمار: زوج=مثبت، فرد=منفی
- a × ۰ = ۰ همیشه
- تقسیم بر ۰: ممنوع!
🔢 مجموعههای عددی و رابطهشان
| نماد | نام | مثال |
|---|---|---|
| ℕ | اعداد طبیعی | 1, 2, 3, ... |
| ℤ | اعداد صحیح | ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... |
| ℚ | اعداد گویا | 1/2, −3/4, 0.75 |
ترتیب: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
هر عدد طبیعی، صحیح هم هست. هر عدد صحیح، گویا هم هست.
هر عدد طبیعی، صحیح هم هست. هر عدد صحیح، گویا هم هست.
⚙️ اولویت انجام عملیات (پَتَضج)
۱. پرانتز ۲. توان ۳. ضرب و تقسیم ۴. جمع و تفریق
۱۰ − ۲ × (۳ + ۱) = ۱۰ − ۲ × ۴ = ۱۰ − ۸ = ۲
۳ + ۲² × ۴ = ۳ + ۴ × ۴ = ۳ + ۱۶ = ۱۹
۳ + ۲² × ۴ = ۳ + ۴ × ۴ = ۳ + ۱۶ = ۱۹
- اول پرانتزها را حل کن (داخلیترین اول).
- ضرب و تقسیم از چپ به راست.
- جمع و تفریق از چپ به راست.
تمرینهای تعاملی
کوییز تعاملی
🎯
آماده امتحان دادی؟
۱۶ سؤال از مباحث فصل اول · سؤالات تستی چهار گزینهای
هر سؤال با توضیح پاسخ همراه است
۱۶سؤال
۰بهترین نمره
متوسطسطح
نکات طلایی امتحان
🔵 عددهای صحیح و قدرمطلق
- ℤ = {..., −۳, −۲, −۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ...} — صفر نه مثبت است نه منفی.
- روی محور اعداد: هرچه به راست، بزرگتر.
- قدرمطلق = فاصله تا صفر، همیشه ≥ ۰. مثال: |−۷| = ۷
- قرینه هر عدد، همان عدد با علامت مخالف است.
- بین دو عدد منفی: قدرمطلق کمتر → عدد بزرگتر. پس −۲ > −۵
🟢 جمع و تفریق اعداد صحیح
- همعلامت: جمع قدرمطلقها + علامت مشترک.
- غیرهمعلامت: اختلاف قدرمطلقها + علامت عدد بزرگتر.
- مهمترین نکته: a − b = a + (−b) → تفریق را به جمع با قرینه تبدیل کن!
- مثال: (−۳) − (−۸) = (−۳) + ۸ = ۵
(−۵) − (−۹) = (−۵) + ۹ = +۴
اشتباه رایج: (−۵) − (−۹) = −۱۴ ← غلط!
اشتباه رایج: (−۵) − (−۹) = −۱۴ ← غلط!
🟠 ضرب و تقسیم اعداد صحیح
- همعلامت (هر دو +، هر دو −) → نتیجه مثبت.
- غیرهمعلامت → نتیجه منفی.
- برای ضرب چند عدد: تعداد منفیها را بشمار — زوج=مثبت، فرد=منفی.
- هر عدد ضرب در صفر = صفر. تقسیم بر صفر: ممنوع!
- مثال: (−۲)×(−۳)×(−۴) → ۳ منفی (فرد) → −۲۴
🟣 عددهای گویا و کسرها
- عدد گویا = a/b با a,b صحیح و b≠۰.
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ — هر صحیح، گویاست. هر گویا لزوماً صحیح نیست.
- جمع کسر: مخرج مشترک بگیر! ۱/۲ + ۱/۳ = ۵/۶ (نه ۲/۵)
- ضرب کسر: صورت×صورت / مخرج×مخرج.
- تقسیم کسر: ضرب در معکوس کسر دوم.
- اعشاری متناهی و متناوب هر دو گویا هستند.
🔷 ترتیب انجام عملیات (پَتَضج)
- پرانتز (از داخلیترین شروع) → توان → ضرب/تقسیم → جمع/تفریق
- ضرب و تقسیم اولویت یکسان: از چپ به راست.
- مثال: ۳ + ۲ × ۴ = ۱۱ (نه ۲۰!)
- مثال: (۲ + ۳) × ۴ = ۲۰ (پرانتز اول)
🔴 اشتباهات رایج در امتحان
- ❌ ۱/۲ + ۱/۳ = ۲/۵ ← ✅ ۱/۲ + ۱/۳ = ۵/۶
- ❌ (−۳)² = −۹ ← ✅ (−۳)² = ۹
- ❌ −۳² = ۹ ← ✅ −۳² = −۹ (اول توان بعد منفی)
- ❌ (−۲)×(−۳) = −۶ ← ✅ (−۲)×(−۳) = +۶
- ❌ (−۳) − (−۵) = −۸ ← ✅ (−۳) − (−۵) = +۲
- ❌ ۵ > −۳ غلط است! ← ✅ ۵ > −۳ درست است!
- ❌ −۳ بزرگتر از −۵ نیست! ← ✅ −۳ > −۵ درست است.
فرمولهای سریع برای امتحان
تفریق صحیح
a − b = a + (−b)
علامت ضرب
زوج منفی → + | فرد منفی → −
تقسیم کسر
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
اولویت عملیات
پَتَضج
پرانتز←توان←ضرب/تقسیم←جمع/تفریق
💪 آماده امتحانی؟ برو کوییز بزن!