فصل ۴: هندسه و استدلال
بخشهای آموزشی فصل چهارم
در هندسه، خط مجموعهای از نقاط است که از دو طرف تا بینهایت ادامه دارد و هیچ ابتدا یا انتهایی ندارد.
نیمخط از یک نقطه شروع میشود و در یک جهت تا بینهایت ادامه مییابد. نقطهٔ شروع آن را «نقطهٔ آغاز» مینامیم.
پارهخط بخشی از یک خط است که دو سر مشخص دارد و طول محدودی دارد.
خط AB — از دو طرف ادامه دارد (فلش دو طرفه).
نیمخط AB — از نقطهٔ A شروع میشود و به سمت B ادامه دارد.
در نیمخط، نقطهٔ آغاز باید اول نوشته شود.
پارهخطها: AB، AC، BC — در کل ۳ پارهخط
نیمخطها: AB، BA، AC، CA، BC، CB — در کل ۶ نیمخط
• پارهخط دو انتها دارد و طول مشخص.
• خط و نیمخط بیانتها هستند (از یک یا دو طرف).
دو پارهخط مساوی هستند اگر طول آنها برابر باشد. برای نشان دادن تساوی، روی هر دو پارهخط علامتهای یکسان (مثلاً یک خط کوچک عمودی) میگذاریم.
اگر نقطهٔ C بین A و B قرار داشته باشد، آنگاه:
AB = AC + CB = 3 + 5 = 8 cm
• واحد طولها باید یکسان باشد.
• برای نمایش تساوی پارهخطها از علامتهای مشابه روی شکل استفاده کن.
زاویه از دو نیمخط با یک نقطهٔ مشترک (رأس) تشکیل شده است.
زاویههای مجاور: دو زاویه که یک ضلع مشترک و رأس مشترک داشته باشند.
مکمل: مجموع دو زاویه = ۱۸۰°
متقابل به رأس: دو زاویهای که از برخورد دو خط ایجاد شوند و در مقابل هم قرار بگیرند — همیشه برابر هستند.
• مکمل ۱۲۰° = 180 - 120 = 60°
• اگر یکی از زاویههای متقابل به رأس ۷۰° باشد، دیگری هم ۷۰° است.
• مکمل ← یکصد و هشتاد (۱۸۰).
• زاویههای متقابل به رأس همیشه برابرند.
استدلال یعنی رسیدن به یک نتیجه بر اساس دادهها و رابطههای معلوم.
سه بخش استدلال: دادهها → رابطه یا دلیل → نتیجه
محدب: همهٔ زاویههای داخلی کمتر از ۱۸۰° هستند.
مقعر: حداقل یک زاویهٔ داخلی بیشتر از ۱۸۰° (فرورفتگی دارد).
منتظم: همهٔ ضلعها برابر و همهٔ زاویهها برابر.
• چندضلعی منتظم هم ضلعهای برابر و هم زاویههای برابر دارد.
• یک فرورفتگی داخلی چندضلعی را مقعر میکند.
انتقال: شکل بدون تغییر اندازه و جهت، جابهجا میشود. شکل اولیه و تصویر آن هماندازه و همشکل هستند.
تقارن محوری: قرینهٔ شکل نسبت به یک خط (محور تقارن) بهدست میآید.
• محور تقارن عمودمنصف پارهخط بین نقطه و قرینهٔ آن است.
• در تقارن، تصویر در طرف دیگر محور قرار میگیرد.
• فاصله از محور تقارن باید برابر باشد.
دوران یعنی چرخاندن شکل حول یک نقطه (مرکز دوران) به اندازهٔ یک زاویهٔ مشخص.
سه عنصر مهم: مرکز دوران، زاویهٔ دوران و جهت (ساعتگرد یا پادساعتگرد).
• شکل و تصویر آن همنهشت هستند.
• فاصلهٔ هر نقطه از مرکز دوران ثابت میماند.
• مقدار زاویه و جهت چرخش را اشتباه نکن.
• قبل و بعد از دوران، طول ضلعها یکسان باقی میمانند.
اگر بتوان با انتقال، دوران یا تقارن یک شکل را دقیقاً روی شکل دیگر منطبق کرد، آن دو شکل همنهشت هستند.
• زاویههای متناظر برابرند.
• اندازه و شکل کلی یکسان است.
تفاوت همنهشت و شبیه: شبیه فقط شکل یکسان دارد اما همنهشت هم شکل و هم اندازه یکسان دارد.
• ترتیب نقاط متناظر باید درست نوشته شود.
• هر تبدیل هندسی (انتقال، تقارن، دوران) همنهشتی را حفظ میکند.
اجزای متناظر دو مثلث همنهشت شامل ضلعهای متناظر و زاویههای متناظر است.
۲) دو ضلع و زاویهٔ بین (ضزض): دو ضلع و زاویهٔ بین آنها برابر باشند.
۳) یک ضلع و دو زاویه (زضز): یک ضلع و دو زاویهٔ مجاور آن برابر باشند.
مراحل استدلال:
۱. دادهها را بخوان. ۲. اجزای متناظر را پیدا کن. ۳. رابطهٔ مناسب را انتخاب کن. ۴. نتیجه را بنویس.
→ دو مثلث ABC و DEF از نظر سه ضلع متناظر همنهشتاند.
△ABC ≅ △DEF (ضضض)
• ضلع و زاویهٔ متناظر را با هم اشتباه نکن.
• در پایان، نتیجه را با یک جملهٔ واضح بنویس.
هندسهیار — محاسبهگرهای آموزشی
محاسبهٔ پارهخط
محاسبهٔ زاویه
تشخیص چندضلعی
نمایش تبدیلات هندسی
آزمون فصل چهارم — ۱۰ سؤال
خلاصهٔ سریع فصل چهارم
خط، نیمخط و پارهخط
پارهخط دو سر مشخص، نیمخط یک سر و خط دو جهت ادامه دارد.
روابط پارهخطها
اگر C بین A و B باشد، AB = AC + CB.
روابط زاویهها
متمم ۹۰ درجه، مکمل ۱۸۰ درجه و متقابل به رأس برابر است.
چندضلعیها
منتظم یعنی همهٔ ضلعها و زاویهها برابر باشند.
استدلال
از دادهها و رابطههای معلوم به نتیجه برس.
انتقال
شکل جابهجا میشود اما اندازه و جهت آن تغییر نمیکند.
تقارن و دوران
تقارن نسبت به محور و دوران حول مرکز انجام میشود.
همنهشتی
شکلهای همنهشت همشکل و هماندازهاند.