۰٪
پیشرفت یادگیری
هنوز هیچ موضوعی را تکمیل نکردهای. شروع کن! 🚀
۰
مبحث یاد گرفته
۰
سؤال درست
۷
کل مباحث
۱۶
کل سؤالات کوییز
مباحث آموزشی فصل دوم
درس ۱
جذر و ریشه دوم
مفهوم جذر، ریشه دوم اعداد، جذر اعداد مثبت و صفر، و خواص جذر.
√a = b ⟺ b² = a , b ≥ 0
√(a²) = |a|
√(a²) = |a|
مثال ۱: √۱۶ = ۴ چون ۴² = ۱۶ و ۴ ≥ ۰
مثال ۲: √۹ = ۳ چون ۳² = ۹
مثال ۳: √۰ = ۰ و √۱ = ۱
مثال ۲: √۹ = ۳ چون ۳² = ۹
مثال ۳: √۰ = ۰ و √۱ = ۱
- جذر عدد منفی در اعداد حقیقی تعریف نشده است.
- جذر همیشه مثبت یا صفر است (جذر اصلی).
- √(a²) = |a| نه لزوماً a.
- جذر عدد کامل مربعی یک عدد صحیح میشود.
جمعبندی: √a عددی است که وقتی توان ۲ بگیرد a میشود. جذر ≥ ۰. جذر عدد منفی تعریف ندارد.
درس ۱
اعداد گنگ و اعداد حقیقی
معرفی اعداد گنگ (نامگویا)، تفاوت با گویا، مجموعه اعداد حقیقی و رابطه مجموعهها.
ℝ = ℚ ∪ (اعداد گنگ)
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
گنگ: √۲ = ۱٫۴۱۴۲۱۳... , √۳ , π , √۵
گویا: ۱/۲ , −۳ , ۰٫۷۵ , √۴ = ۲
نکته: √۴ = ۲ گویاست! چون ۴ مربع کامل است.
گویا: ۱/۲ , −۳ , ۰٫۷۵ , √۴ = ۲
نکته: √۴ = ۲ گویاست! چون ۴ مربع کامل است.
- عدد گنگ: اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب.
- هر عدد یا گویاست یا گنگ — هیچوقت هر دو نیست.
- اعداد حقیقی (ℝ) = گویا + گنگ.
- √n گنگ است مگر اینکه n مربع کامل باشد.
جمعبندی: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. اعداد گنگ = اعشاری نامتناهی غیرمتناوب. ℝ = گویا ∪ گنگ.
درس ۱
محور اعداد حقیقی و مقایسه
نمایش اعداد گنگ روی محور، مقایسه اعداد حقیقی، تراکم اعداد حقیقی.
مثال: کدام بزرگتر است: √۵ یا ۲٫۳ ؟
√۵ ≈ ۲٫۲۳۶... پس ۲٫۳ > √۵
√۵ ≈ ۲٫۲۳۶... پس ۲٫۳ > √۵
- برای مقایسه اعداد گنگ، مقدار تقریبی آنها را حساب کن.
- روی محور اعداد، همه اعداد حقیقی جای دارند.
- بین هر دو عدد حقیقی، بینهایت عدد حقیقی وجود دارد.
جمعبندی: برای مقایسه اعداد گنگ → تقریب بزن. محور اعداد حقیقی هیچ «خلأ»ی ندارد.
درس ۲
سادهسازی رادیکالها
سادهسازی عبارات رادیکالی با استفاده از خواص ضرب و تقسیم جذر.
√(a×b) = √a × √b (a,b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a≥0 , b>0)
√(a/b) = √a / √b (a≥0 , b>0)
مثال ۱: √۱۲ = √(۴×۳) = √۴ × √۳ = ۲√۳
مثال ۲: √۴۵ = √(۹×۵) = ۳√۵
مثال ۳: √۷۲ = √(۳۶×۲) = ۶√۲
مثال ۴: √(۱/۴) = √۱/√۴ = ۱/۲
مثال ۲: √۴۵ = √(۹×۵) = ۳√۵
مثال ۳: √۷۲ = √(۳۶×۲) = ۶√۲
مثال ۴: √(۱/۴) = √۱/√۴ = ۱/۲
- بزرگترین عامل مربع کامل را پیدا کن و جدا کن.
- √(a×b) = √a × √b فقط برای a,b ≥ 0 درست است.
- هدف: هیچ عامل مربعی زیر رادیکال نماند.
جمعبندی: سادهسازی = پیدا کردن بزرگترین عامل مربع کامل و خارج کردن جذر آن.
درس ۲
ضرب و تقسیم رادیکالها
عملیات ضرب و تقسیم روی عبارات رادیکالی و سادهسازی نتیجه.
√a × √b = √(ab)
√a ÷ √b = √(a/b)
a√m × b√n = ab√(mn)
√a ÷ √b = √(a/b)
a√m × b√n = ab√(mn)
مثال ۱: √۳ × √۱۲ = √۳۶ = ۶
مثال ۲: ۲√۵ × ۳√۵ = ۶ × ۵ = ۳۰
مثال ۳: √۵۰ ÷ √۲ = √۲۵ = ۵
مثال ۴: ۳√۲ × ۴√۳ = ۱۲√۶
مثال ۲: ۲√۵ × ۳√۵ = ۶ × ۵ = ۳۰
مثال ۳: √۵۰ ÷ √۲ = √۲۵ = ۵
مثال ۴: ۳√۲ × ۴√۳ = ۱۲√۶
- اعداد خارج رادیکال را در هم و داخل رادیکال را در هم ضرب کن.
- اگر زیر رادیکال مربع کامل شد حتماً ساده کن.
- √a × √a = a (برای a ≥ 0)
جمعبندی: خارج×خارج و داخل×داخل. √a × √a = a. نتیجه را همیشه ساده کن.
درس ۳
جمع و تفریق رادیکالهای همنوع
جمع و تفریق رادیکالهایی که زیر رادیکال یکسان دارند (رادیکالهای همنوع).
a√n + b√n = (a+b)√n
a√n − b√n = (a−b)√n
a√n − b√n = (a−b)√n
مثال ۱: ۳√۲ + ۵√۲ = ۸√۲
مثال ۲: ۷√۳ − ۲√۳ = ۵√۳
مثال ۳: √۸ + √۱۸ = ۲√۲ + ۳√۲ = ۵√۲
مثال ۴: ۲√۵ + ۳√۳ = قابل سادهسازی نیست! (غیرهمنوع)
مثال ۲: ۷√۳ − ۲√۳ = ۵√۳
مثال ۳: √۸ + √۱۸ = ۲√۲ + ۳√۲ = ۵√۲
مثال ۴: ۲√۵ + ۳√۳ = قابل سادهسازی نیست! (غیرهمنوع)
- فقط رادیکالهای همنوع (زیر رادیکال یکسان) را جمع/تفریق کن.
- ابتدا هر رادیکال را ساده کن، سپس همنوعها را جمع بزن.
- √۵ + √۳ قابل سادهسازی نیست!
جمعبندی: جمع رادیکالها مثل جمع عبارتهای جبری: فقط همجنسها را جمع بزن.
درس ۳
توانهای صحیح و خواص آنها
خواص توان برای اعداد حقیقی، توان صفر، توان منفی و قوانین ضرب و تقسیم توان.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | a⁰ = 1 (a≠0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | a⁰ = 1 (a≠0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
مثال ۱: ۲³ × ۲⁴ = ۲⁷ = ۱۲۸
مثال ۲: (۳²)³ = ۳⁶ = ۷۲۹
مثال ۳: ۵⁻² = ۱/۵² = ۱/۲۵
مثال ۴: ۷⁰ = ۱
مثال ۲: (۳²)³ = ۳⁶ = ۷۲۹
مثال ۳: ۵⁻² = ۱/۵² = ۱/۲۵
مثال ۴: ۷⁰ = ۱
- ضرب توانهای همپایه: توانها را جمع کن.
- تقسیم توانهای همپایه: توانها را تفریق کن.
- هر عدد غیرصفر به توان صفر = ۱.
- توان منفی = معکوس آن توان مثبت.
جمعبندی: aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ | aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ | (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ | a⁰=۱ | a⁻ⁿ=۱/aⁿ
جدول فرمولها و نکات کلیدی
📋 فرمولهای اصلی فصل دوم
| مبحث | فرمول / رابطه | مثال |
|---|---|---|
| تعریف جذر | √a = b ⟺ b²=a, b≥0 | √25 = 5 |
| جذر مربع | √(a²) = |a| | √((-3)²) = 3 |
| ضرب رادیکال | √a × √b = √(ab) | √3 × √12 = √36 = 6 |
| تقسیم رادیکال | √a ÷ √b = √(a/b) | √50 ÷ √2 = 5 |
| سادهسازی | √(m²n) = m√n | √12 = 2√3 |
| جمع رادیکال | a√n + b√n = (a+b)√n | 3√2 + 5√2 = 8√2 |
| ضرب توان | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| تقسیم توان | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ ÷ 3² = 3³ |
| توان توان | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)⁴ = 2¹² |
| توان صفر | a⁰ = 1 (a≠0) | 7⁰ = 1 |
| توان منفی | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| رابطه مجموعهها | ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ | √2 ∈ ℝ, √2 ∉ ℚ |
نکات تفصیلی
√ اعداد مربع کامل
اعداد مربع کامل اعدادی هستند که جذر آنها عدد طبیعی است:
۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۸۱, ۱۰۰, ۱۲۱, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۲۵
√۱=۱, √۴=۲, √۹=۳, √۱۶=۴, √۲۵=۵, √۳۶=۶
√۴۹=۷, √۶۴=۸, √۸۱=۹, √۱۰۰=۱۰, √۱۲۱=۱۱, √۱۴۴=۱۲
√۴۹=۷, √۶۴=۸, √۸۱=۹, √۱۰۰=۱۰, √۱۲۱=۱۱, √۱۴۴=۱۲
- این اعداد را حفظ کن — در امتحان خیلی کمک میکنند!
- اگر n مربع کامل نباشد √n عدد گنگ است.
🔢 تشخیص گویا از گنگ
| عدد | نوع | دلیل |
|---|---|---|
| √4 = 2 | گویا ✅ | 4 مربع کامل است |
| √2 = 1.414... | گنگ ❌ | اعشاری نامتناهی غیرمتناوب |
| √9/4 = 3/2 | گویا ✅ | √9/√4 = 3/2 |
| π = 3.14159... | گنگ ❌ | اعشاری نامتناهی غیرمتناوب |
| 0.333... = 1/3 | گویا ✅ | اعشاری متناوب |
| 2√3 | گنگ ❌ | √3 گنگ است |
⚡ خواص توان — کامل
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b≠0)
a⁰ = 1 (a≠0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b≠0)
a⁰ = 1 (a≠0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
۲³ × ۲² = ۲⁵ = ۳۲
۳⁶ ÷ ۳² = ۳⁴ = ۸۱
(۲²)³ = ۲⁶ = ۶۴
(۲×۳)² = ۴×۹ = ۳۶
۱۰⁻³ = ۱/۱۰۰۰ = ۰٫۰۰۱
۳⁶ ÷ ۳² = ۳⁴ = ۸۱
(۲²)³ = ۲⁶ = ۶۴
(۲×۳)² = ۴×۹ = ۳۶
۱۰⁻³ = ۱/۱۰۰۰ = ۰٫۰۰۱
- پایهها باید یکسان باشند تا بتوانی توانها را جمع/تفریق کنی.
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ اما (a+b)ⁿ ≠ aⁿ+bⁿ
📊 مجموعههای عددی — دیاگرام
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ℝ = ℚ ∪ (اعداد گنگ) | ℚ ∩ (گنگ) = ∅
ℝ = ℚ ∪ (اعداد گنگ) | ℚ ∩ (گنگ) = ∅
تمرینهای تعاملی
کوییز تعاملی
🎯
آماده امتحان دادی؟
۱۶ سؤال از مباحث فصل دوم · سؤالات تستی چهار گزینهای
هر سؤال با توضیح پاسخ همراه است
۱۶سؤال
۰بهترین نمره
متوسطسطح
نکات طلایی امتحان
🔵 جذر و ریشه دوم
- √a عددی است که مربعش a میشود و همیشه ≥ ۰ است.
- √(a²) = |a| نه لزوماً a. مثال: √((-3)²) = √9 = 3
- جذر عدد منفی در اعداد حقیقی تعریف نشده است: √(−۴) وجود ندارد.
- √۰ = ۰ و √۱ = ۱ و جذر مربعهای کامل عدد صحیح است.
- مربعهای کامل مهم: ۱,۴,۹,۱۶,۲۵,۳۶,۴۹,۶۴,۸۱,۱۰۰,۱۲۱,۱۴۴
🟢 اعداد گنگ و حقیقی
- عدد گنگ: اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب. مثال: √۲, √۳, π
- هر عدد یا گویاست یا گنگ — نمیتواند هر دو باشد.
- ℝ = ℚ ∪ (اعداد گنگ) — اعداد حقیقی همه را شامل میشود.
- ترتیب: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- √n گنگ است مگر n مربع کامل باشد. مثال: √۴=۲ گویاست ولی √۵ گنگ.
√۴ = ۲ گویاست! ← ۴ = ۲² مربع کامل است.
√۵ ≈ ۲٫۲۳۶... گنگ است!
√۵ ≈ ۲٫۲۳۶... گنگ است!
🟠 سادهسازی رادیکالها
- √(a×b) = √a × √b برای a,b ≥ 0
- بزرگترین عامل مربع کامل را پیدا و جدا کن.
- √۱۲ = √(۴×۳) = ۲√۳ | √۷۵ = √(۲۵×۳) = ۵√۳
- √a × √a = a برای a ≥ 0
- هدف: هیچ مربع کاملی زیر رادیکال نماند.
🟣 جمع و تفریق رادیکالها
- فقط رادیکالهای همنوع (زیر رادیکال یکسان) را جمع/تفریق کن.
- مثال: ۳√۵ + ۷√۵ = ۱۰√۵
- مثال: √۸ + √۱۸ = ۲√۲ + ۳√۲ = ۵√۲ (ابتدا ساده کن!)
- √۲ + √۳ قابل سادهسازی نیست! (غیرهمنوع)
🔷 خواص توان
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — پایهها باید یکسان باشند!
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ — توانها را تفریق کن.
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — توانها را در هم ضرب کن.
- a⁰ = ۱ برای هر a ≠ ۰
- a⁻ⁿ = ۱/aⁿ — توان منفی = معکوس.
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ولی (a+b)ⁿ ≠ aⁿ+bⁿ
🔴 اشتباهات رایج
- ❌ √(a+b) = √a + √b ← ✅ غلط! √(۴+۹) ≠ ۲+۳
- ❌ √(−۴) = −۲ ← ✅ جذر عدد منفی تعریف ندارد!
- ❌ √(a²) = a ← ✅ √(a²) = |a|. مثال √((−3)²) = 3 نه −3
- ❌ √۲ + √۳ = √۵ ← ✅ غلط! √۲ + √۳ قابل جمع نیست.
- ❌ ۲³ × ۲⁴ = ۴⁷ ← ✅ ۲³ × ۲⁴ = ۲⁷ (پایه ثابت میماند)
- ❌ (۲³)⁴ = ۲⁷ ← ✅ (۲³)⁴ = ۲¹² (توانها ضرب میشوند)
- ❌ ۵⁰ = ۰ ← ✅ ۵⁰ = ۱ (هر عدد غیرصفر به توان صفر = ۱)
فرمولهای سریع
سادهسازی جذر
√(m²n) = m√n
ضرب رادیکال
√a × √b = √(ab)
ضرب توان
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
توان صفر و منفی
a⁰=1 | a⁻ⁿ=1/aⁿ
💪 آماده امتحانی؟ برو کوییز بزن!