فصل ۲: عددهای صحیح
ریاضی پایه هفتم — آموزش جامع، تعاملی و مرور شب امتحان
پایه هفتم · دوره اول متوسطهپیشرفت مطالعه
آشنایی با عددهای صحیح
اعداد مثبت، منفی و صفر در زندگی روزمرهعددهای صحیح مجموعهای از اعداد هستند که شامل اعداد مثبت (۱+، ۲+، ۳+، …)، صفر و اعداد منفی (۱−، ۲−، ۳−، …) میشوند.
در زندگی روزمره، عددهای منفی جاهای زیادی دیده میشوند: دمای زیر صفر، طبقات زیرزمین، زیان مالی و عمق زیر سطح دریا.
✅ مثال حلشده
دمای ۴ درجه زیر صفر → ۴−
طبقه ۳ بالای همکف → ۳+
سطح دریا → ۰
💡 نکات امتحانی
• صفر نه مثبت است و نه منفی.
• علامت «+» در ابتدای عدد مثبت معمولاً نوشته نمیشود؛ یعنی ۵ همان ۵+ است.
نمایش عددهای صحیح روی محور
راستِ صفر مثبت و چپِ صفر منفی استمحور اعداد یک خط راست افقی است که روی آن اعداد صحیح در فاصلههای مساوی قرار میگیرند. نقطهای در وسط به عنوان صفر (مبدأ) مشخص میشود.
هرچه روی محور به سمت راست برویم، عدد بزرگتر و هرچه به سمت چپ برویم، عدد کوچکتر میشود.
سمت چپ صفر ← اعداد منفی
✅ مثال حلشده
اعداد ۴+، ۲− و ۰ را روی محور نشان دهید:
ابتدا صفر را مشخص میکنیم. عدد ۴+ چهار واحد سمت راست صفر و عدد ۲− دو واحد سمت چپ صفر قرار میگیرد.
💡 نکات امتحانی
• فاصلهٔ هر عدد از صفر برابر قدرمطلق آن عدد است.
• فاصلههای محور باید همیشه یکسان باشند.
قرینه و قدرمطلق
فاصله از صفر بدون توجه به علامتقرینهٔ هر عدد: عددی با همان فاصله از صفر ولی با علامت مخالف. مثلاً قرینهٔ ۵+ عدد ۵− و قرینهٔ ۵− عدد ۵+ است.
قدرمطلق هر عدد: فاصلهٔ آن عدد از صفر روی محور اعداد. قدرمطلق همیشه صفر یا مثبت است.
|۷−| = ۷ و |۰| = ۰
✅ مثال حلشده
قرینهٔ ۹− چیست؟ → ۹+
قدرمطلق ۹− چقدر است؟ → |۹−| = ۹
💡 نکات امتحانی
• قرینهٔ صفر، خود صفر است.
• قدرمطلق هیچوقت منفی نیست.
• دو عدد قرینه روی محور به یک فاصله از صفر قرار دارند.
مقایسه و ترتیب عددهای صحیح
هرچه به سمت راستتر برویم، عدد بزرگتر استقوانین مقایسه:
• هر عدد مثبت از صفر بزرگتر است.
• هر عدد منفی از صفر کوچکتر است.
• هر عدد مثبت از هر عدد منفی بزرگتر است.
• بین دو عدد منفی، عددی که به صفر نزدیکتر باشد بزرگتر است.
✅ مثال حلشده
مقایسهٔ ۳− و ۷−: چون ۳− به صفر نزدیکتر است → ۳− > ۷−
مقایسهٔ ۲+ و ۱−: هر مثبت از هر منفی بزرگتر → ۲+ > ۱−
مرتبسازی صعودی: ۴−، ۱−، ۰، ۲+
💡 نکات امتحانی
• دقت کنید: ۳− از ۷− بزرگتر است (نه کوچکتر!)
• برای مقایسه اعداد منفی، ابتدا قدرمطلقها را مقایسه کنید؛ عدد منفی با قدرمطلق کمتر بزرگتر است.
جمع عددهای صحیح
همعلامتها جمع میشوند؛ مخالفعلامتها تفاضل دارندجمع همعلامت: قدرمطلقها را جمع کن و علامت مشترک را بنویس.
جمع مخالفعلامت: قدرمطلقها را از هم کم کن و علامت عددی که قدرمطلق بزرگتری دارد را بنویس.
جمع مخالفعلامت: قدرمطلقها را کم کن و علامت بزرگتر را نگه دار
✅ مثالهای حلشده
۴+ + ۳+ = ۷+ (همعلامت، جمع قدرمطلقها)
۵− + ۲− = ۷− (همعلامت منفی)
۸+ + ۳− = ۵+ (مخالفعلامت: ۸−۳=۵، علامت ۸ بزرگتر)
۴− + ۹+ = ۵+ (مخالفعلامت: ۹−۴=۵، علامت ۹ بزرگتر)
💡 نکات امتحانی
• در جمع مخالفعلامت، فقط قدرمطلقها را کم میکنیم.
• علامت پاسخ نهایی بسیار مهم است؛ حتماً آن را بررسی کنید.
تفریق عددهای صحیح
تفریق را به جمعِ قرینه تبدیل کنقانون طلایی تفریق: تفریق هر عدد برابر است با جمع قرینهٔ آن عدد.
یعنی: عدد اول را نگه دار، علامت تفریق را به جمع تغییر بده و علامت عدد دوم را عوض کن. سپس از قانون جمع استفاده کن.
✅ مثالهای حلشده
۷ − ۳ = ۷ + (۳−) = ۴
۴ − (۶−) = ۴ + ۶ = ۱۰
۸− − ۲ = ۸− + (۲−) = ۱۰−
۵− − (۳−) = ۵− + ۳ = ۲−
💡 نکات امتحانی
• فقط علامت عدد دوم عوض میشود.
• پس از تبدیل به جمع، از قانون جمع استفاده کنید.
• پرانتزها را درست بنویسید.
⚠️ اشتباه رایج
بعضی دانشآموزان علامت عدد اول را هم عوض میکنند. در تبدیل تفریق به جمع، فقط علامت عدد دوم تغییر میکند!
ضرب عددهای صحیح
قانون علامتها در ضربقانون علامتها در ضرب:
• مثبت × مثبت = مثبت
• منفی × منفی = مثبت
• مثبت × منفی = منفی
• منفی × مثبت = منفی
علامتهای متفاوت → منفی
✅ مثالهای حلشده
۳ × ۴ = ۱۲
(۳−) × (۴−) = ۱۲+
۵ × (۲−) = ۱۰−
(۶−) × ۳ = ۱۸−
💡 نکات امتحانی
• ابتدا علامت پاسخ را تعیین کنید، سپس قدرمطلقها را ضرب کنید.
• ضرب چند عدد: تعداد عاملهای منفی زوج → مثبت؛ فرد → منفی.
⚠️ اشتباه رایج
بعضی دانشآموزان فکر میکنند منفی × منفی = منفی! ولی حاصلضرب دو عدد منفی، مثبت است.
تقسیم عددهای صحیح و جمعبندی عملیات
در تقسیم نیز قانون علامتها مانند ضرب استقانون علامتها در تقسیم دقیقاً مشابه ضرب است:
• مثبت ÷ مثبت = مثبت
• منفی ÷ منفی = مثبت
• مثبت ÷ منفی = منفی
• منفی ÷ مثبت = منفی
⛔ تقسیم بر صفر تعریف ندارد.
✅ مثالهای حلشده
۱۲ ÷ ۳ = ۴
(۲۰−) ÷ (۵−) = ۴+
۱۸ ÷ (۶−) = ۳−
(۲۱−) ÷ ۷ = ۳−
ترتیب انجام عملیات
۱. اول پرانتز ۲. سپس ضرب و تقسیم ۳. سپس جمع و تفریق
✅ مثال جمعبندی
۶ + (−۲) × ۳
ابتدا ضرب: (۲−) × ۳ = ۶−
سپس جمع: ۶ + (۶−) = ۰
💡 نکات امتحانی
• تقسیم بر صفر ممنوع است!
• در عبارتها، ترتیب عملیات را رعایت کنید.
• قانون علامتها در ضرب و تقسیم یکسان است.
⚠️ اشتباه رایج
بعضی دانشآموزان ترتیب عملیات را رعایت نمیکنند و جمع را قبل از ضرب انجام میدهند!
محاسبهگرهای آموزشی
جمع اعداد صحیح
تفریق اعداد صحیح
ضرب و تقسیم
محور عددی تعاملی
آزمون فصل دوم
سؤال ۱ از ۱۰خلاصهٔ سریع فصل دوم
عددهای مثبت، منفی و صفر
اعداد صحیح شامل مثبت، منفی و صفر هستند.
{… ,−۲ ,−۱ ,۰ ,۱ ,۲ ,…}محور اعداد
سمت راست صفر مثبت و سمت چپ منفی است.
راستتر = بزرگترقرینه و قدرمطلق
قرینه: علامت مخالف، فاصله برابر از صفر. قدرمطلق: فاصله از صفر.
|−a| = aمقایسه
هر مثبت از هر منفی بزرگتر است. بین منفیها، نزدیکتر به صفر بزرگتر.
−۳ > −۷جمع
همعلامت: جمع قدرمطلق. مخالفعلامت: تفاضل قدرمطلق.
(−a)+(−b) = −(a+b)تفریق
تفریق = جمع قرینه. فقط علامت عدد دوم عوض شود.
a − b = a + (−b)ضرب
علامت یکسان → مثبت. علامت متفاوت → منفی.
(−)(−) = + (−)(+) = −تقسیم و ترتیب عملیات
قانون علامت تقسیم مانند ضرب. ترتیب: پرانتز → ×÷ → +−
تقسیم بر صفر ⛔ تعریف ندارد