فصل ۳: جبر و معادله
ریاضی پایه هفتم — آموزش تعاملی الگوها، عبارتهای جبری و معادله
از الگوها تا حل معادله، قدمبهقدم و مفهومی یاد بگیر.
پایه هفتم · دوره اول متوسطهپیشرفت مطالعه
الگوهای عددی
کشف نظم بین عددها و پیدا کردن جملهٔ بعدیالگو مجموعهای از عددها یا شکلهاست که بین جملههای آن نظم مشخصی وجود دارد.
الگوی افزایشی: هر جمله از قبلی بزرگتر (مثلاً هر بار ۳ اضافه شود).
الگوی کاهشی: هر جمله از قبلی کوچکتر (مثلاً هر بار ۳ کم شود).
الگوی تکراری: گروهی از اعداد مرتب تکرار شوند.
✅ مثال ۱
الگو: ۳ ، ۶ ، ۹ ، ۱۲ ، …
اختلاف: هر بار +۳
جملهٔ بعدی: ۱۵
✅ مثال ۲
الگو: ۲۰ ، ۱۷ ، ۱۴ ، ۱۱ ، …
اختلاف: هر بار −۳
جملهٔ بعدی: ۸
💡 نکات امتحانی
• اختلاف را بین چند جملهٔ متوالی بررسی کن.
• فقط با دیدن دو جمله قضاوت نکن.
• قانون باید برای همهٔ جملهها درست باشد.
جملهٔ nام الگو
نوشتن قانون کلی برای هر جملهٔ الگوهر جمله در الگو یک شماره دارد: جملهٔ اول (n=۱)، دوم (n=۲)، سوم (n=۳) و … . حرف n نمایندهٔ شمارهٔ جمله است.
✅ مثال
جملهٔ nام = ۴n + ۱
جملهٔ سوم (n=۳): ۴×۳ + ۱ = ۱۳
💡 نکات امتحانی
• n شمارهٔ جمله است، نه مقدار جمله.
• قانون را روی چند جملهٔ اول آزمایش کن.
• n از ۱ شروع میشود.
از زبان فارسی تا زبان جبر
نمایش یک عبارت کلامی با متغیر و عددوقتی عددی را نمیدانیم، آن را با حرفی مثل x نشان میدهیم؛ به این حرف متغیر میگوییم.
سه واحد کمتر از x → x − ۳
دو برابر x → ۲x
نصف x → x ÷ ۲
✅ مثال
«سه برابر عددی بهعلاوهٔ ۴» → ۳x + ۴
💡 نکات امتحانی
• «دو برابر x» = ۲x (نه x+۲).
• علامت ضرب بین عدد و متغیر معمولاً نوشته نمیشود.
عبارت جبری، جمله، ضریب و ثابت
شناخت اجزای یک عبارت جبریعبارت جبری ترکیبی از اعداد، متغیرها و عملیات ریاضی است.
در عبارت ۳x + ۵:
• x متغیر
• ۳ ضریب x
• ۵ جملهٔ ثابت
• ۳x و ۵ جملههای عبارت
ضریب x در عبارت −x برابر −۱ است.
✅ مثالها
۵x → یکجملهای
۲a + ۳ → دو جملهای
۴m − ۷n + ۱ → سهجملهای
💡 نکات امتحانی
• ضریب = عددی که در متغیر ضرب شده.
• ثابت = عدد بدون متغیر.
جملههای متشابه
جمعکردن جملههایی که بخش حرفی یکسان دارندجملههای متشابه جملههایی هستند که بخش حرفی یکسان دارند. فقط ضریبها میتوانند متفاوت باشند.
متشابه: ۳x و ۵x | ۷a و −۲a
نامتشابه: ۳x و ۳y | ۲a و ۵
۷a − ۲a = ۵a
۴x + ۳ − x + ۲ = ۳x + ۵
✅ مثال
۴x + ۳ − x + ۲
= (۴x − x) + (۳ + ۲)
= ۳x + ۵
💡 نکات امتحانی
• ضریبها جمع/تفریق شوند، بخش حرفی حفظ شود.
• جملههای نامتشابه ترکیب نمیشوند.
⚠️ اشتباه رایج
۳x + ۲ برابر ۵x نیست! عدد ۲ ثابت است و با ۳x متشابه نیست.
جایگذاری عدد در عبارت جبری
بهدستآوردن مقدار عبارت با جایگذاری مقدار متغیربرای یافتن مقدار عددی یک عبارت جبری:
۱. مقدار متغیر را بنویس.
۲. آن را در عبارت جایگذاری کن.
۳. پرانتزها را رعایت کن.
۴. عملیات را انجام بده.
۳x + ۲ = ۳×۴ + ۲ = ۱۲ + ۲ = ۱۴
✅ مثال با عدد منفی
اگر a = −۲:
۵a + ۳ = ۵×(−۲) + ۳ = −۱۰ + ۳ = −۷
💡 نکات امتحانی
• برای عدد منفی حتماً از پرانتز استفاده کن.
• علامت منفی را فراموش نکن.
معادله چیست و چگونه حل میشود؟
پیدا کردن مقدار مجهول با حفظ تساویمعادله یک تساوی است که در آن مجهول (عدد نامعلوم) وجود دارد. هدف: پیدا کردن مقدار مجهول.
مثل ترازوی متعادل: هر کاری یک طرف انجام دهیم، همان را طرف دیگر هم انجام میدهیم.
x − ۳ = ۸ → x = ۸ + ۳ = ۱۱
۲x = ۱۰ → x = ۱۰ ÷ ۲ = ۵
x ÷ ۴ = ۳ → x = ۳ × ۴ = ۱۲
✅ مثال کامل
x + ۵ = ۱۲
از دو طرف ۵ کم میکنیم: x = ۷
بررسی: ۷ + ۵ = ۱۲ ✓
💡 نکات امتحانی
• جواب را در معادلهٔ اصلی بررسی کن.
• دو طرف تساوی باید برابر بمانند.
⚠️ اشتباه رایج
هنگام انتقال عدد، علامتش تغییر میکند: + میشود − و برعکس.
تبدیل مسئلهٔ کلامی به معادله
حل مسائل روزمره با کمک مجهولمراحل حل مسئله:
۱. مجهول را x بنام.
۲. اطلاعات را به عبارت جبری تبدیل کن.
۳. معادله تشکیل بده.
۴. حل کن.
۵. جواب را بررسی کن.
✅ مثال ۱
«عددی را با ۸ جمع کردهایم و ۱۵ شده. آن عدد چیست؟»
x + ۸ = ۱۵ → x = ۷
بررسی: ۷ + ۸ = ۱۵ ✓
✅ مثال ۲
«قیمت ۳ دفتر ۲۱۰۰۰ تومان است. قیمت هر دفتر چقدر است؟»
۳x = ۲۱۰۰۰ → x = ۷۰۰۰ تومان
💡 نکات امتحانی
• ابتدا مجهول را تعریف کن.
• واحد و مفهوم جواب را بنویس.
جبرنگار — ابزارهای تعاملی
جملهٔ nام الگو
سادهسازی عبارت
مقدار عددی عبارت
حل معادله
آزمون فصل سوم
سؤال ۱ از ۱۰خلاصهٔ سریع فصل سوم
الگوهای عددی
اختلاف یا نظم بین جملهها را پیدا کن.
اختلاف ثابت → الگوی حسابیجملهٔ nام
قانون کلی جملهها را با n بنویس.
مثال: ۳nعبارت کلامی
کلمهها را به عدد، متغیر و عمل تبدیل کن.
دو برابر x = ۲xاجزای عبارت جبری
ضریب، متغیر، ثابت و جملهها را تشخیص بده.
ضریب x = ۱ | ضریب −x = −۱جملههای متشابه
فقط بخشهای حرفی یکسان ترکیب میشوند.
۳x + ۵x = ۸xمقدار عددی
مقدار متغیر را جایگذاری و محاسبه کن.
عدد منفی → پرانتز!معادله
تساوی را حفظ و مقدار مجهول را پیدا کن.
جواب را بررسی کن!حل مسئله با معادله
مجهول تعریف، معادله تشکیل و جواب بررسی کن.
۵ مرحله را فراموش نکن