فصل ۵: عبارتهای جبری
ریاضی پایه هشتم — آموزش جامع، تعاملی و مرور شب امتحان
پایه هشتم · دوره اول متوسطهعبارت جبری ترکیبی از اعداد، متغیرها و عملیات است. هر بخش جداشده با + یا − یک جمله است.
✅ مثالها
در 3x² − 5x + 7:
• جمله اول: 3x² ← ضریب=3، متغیر=x، توان=2
• جمله دوم: −5x ← ضریب=−5، متغیر=x، توان=1
• جمله سوم: 7 ← جمله ثابت (بدون متغیر)
• درجه کل: ۲ (بالاترین توان)
⚡ اصطلاحات
- تکجملهای: 5x² (یک جمله)
- دوجملهای: 2x+3 (دو جمله)
- سهجملهای: x²+2x+1 (سه جمله)
- جملات همانند: ضریبهای یکسان (3x و 5x)
- درجه چند جملهای = بالاترین درجه جملات
فقط جملات همانند (با متغیر و توان یکسان) را میتوان جمع یا تفریق کرد. ضریبهایشان را جمع/تفریق میکنیم.
✅ مثالها
• 3x + 5x = 8x
• 7x² − 2x² = 5x²
• (2x²+3x−1) + (x²−5x+4) = 3x²−2x+3
• (4x²−x+2) − (2x²+3x−5) = 2x²−4x+7
• 3xy + 5xy − 2xy = 6xy
⚡ نکات
- x² و x جملات همانند نیستند!
- x²y و xy² همانند نیستند!
- تفریق = علامت همه جملات داخل پرانتز عوض میشود
- ابتدا پرانتزها را باز کن، سپس همانندها را جمع کن
⚠️ اشتباه رایج
- ❌ 3x + 2x² = 5x³ ← غلط! همانند نیستند
- ✅ 3x + 2x² = 2x² + 3x (سادهتر نمیشود)
برای ضرب تکجملهای در چندجملهای، تکجملهای را در هر جمله داخل پرانتز ضرب میکنیم (توزیعپذیری).
✅ مثالها
• 3(x + 4) = 3x + 12
• 2x(3x − 5) = 6x² − 10x
• −4(2x² − 3x + 1) = −8x² + 12x − 4
• x²(x + 2) = x³ + 2x²
• 3xy(2x − y) = 6x²y − 3xy²
⚡ قوانین ضرب
- ضریبها ضرب میشوند
- توانهای همپایه جمع میشوند
- علامتها: مثبت×مثبت=مثبت، منفی×مثبت=منفی
- فراموش نکن همه جملات داخل ضرب شوند
برای ضرب دو دوجملهای، از روش FOIL استفاده میکنیم: اول×اول، اول×آخر، آخر×اول، آخر×آخر.
✅ مثالها
• (x+3)(x+4) = x²+4x+3x+12 = x²+7x+12
• (x+5)² = x²+10x+25
• (x−3)² = x²−6x+9
• (x+4)(x−4) = x²−16
• (2x+3)(x−2) = 2x²−4x+3x−6 = 2x²−x−6
تجزیه، عکس ضرب است: یک عبارت را به ضرب عوامل سادهتر تبدیل میکنیم.
✅ مثالها
• 6x + 9 = 3(2x+3)
• 4x² − 8x = 4x(x−2)
• x² − 9 = (x+3)(x−3)
• x² + 6x + 9 = (x+3)²
• 2x² − 4xy = 2x(x−2y)
⚡ مراحل تجزیه
- اول: عامل مشترک را درآر
- دوم: از اتحادهای جبری استفاده کن
- سوم: بررسی کن آیا تجزیه درست است
- تجزیه یعنی جواب را در هم ضرب کنی همان عبارت اولیه شود
معادله درجه اول یعنی بالاترین توان مجهول برابر ۱ است. هدف: یافتن مقدار مجهول (x).
✅ مراحل حل
مثال: 3x − 5 = 10
۱. به هر طرف ۵ اضافه کن: 3x = 15
۲. هر طرف را بر ۳ تقسیم کن: x = 5
مثال: 2(x+3) = 14
۱. توزیع: 2x + 6 = 14
۲. ۶ را کم کن: 2x = 8
۳. بر ۲ تقسیم: x = 4
⚡ اصول حل معادله
- هر عملیاتی را روی هر دو طرف انجام بده
- ابتدا پرانتزها را باز کن
- جملات x را یک طرف، اعداد را طرف دیگر ببر
- جواب را در معادله جایگذار کن و بررسی کن
- اگر x ضریب منفی داشت، دو طرف را در −۱ ضرب کن
نامعادله مانند معادله حل میشود، اما جواب یک بازه از اعداد است نه یک عدد خاص.
✅ مثالها
2x − 3 < 5:
2x < 8 → x < 4
−3x ≥ 9:
x ≤ −3 (علامت برعکس شد!)
x + 2 > 0:
x > −2
⚠️ مهمترین نکته
- ضرب/تقسیم بر عدد منفی ← علامت برمیگردد
- −2x > 4 → x < −2 (برعکس شد!)
- جواب را روی محور اعداد نشان بده
- نقطه باز ○ برای < و > (شامل نمیشود)
- نقطه بسته ● برای ≤ و ≥ (شامل میشود)
محاسبهگر عبارات جبری
اتحادهای جبری (a و b را وارد کن)
حل معادله ax + b = c
حل نامعادله ax + b ◻ c
ضرب (x+a)(x+b)
مقدار a و b را وارد کن (میتواند منفی باشد)
ارزیابی ax²+bx+c در مقدار x
عامل مشترک ax² + bx
تجزیه عبارت ax² + bx = x(ax + b)
مرور سریع شب امتحان
📝 اتحاد مربع مجموع
(a+b)² = a² + 2ab + b²مثال: (x+5)² = x²+10x+25
📝 اتحاد مربع تفاضل
(a−b)² = a² − 2ab + b²مثال: (x−3)² = x²−6x+9
📝 اتحاد مزدوج
(a+b)(a−b) = a² − b²مثال: (x+4)(x−4) = x²−16
✂️ تجزیه عامل مشترک
ab + ac = a(b+c)مثال: 6x²+9x = 3x(2x+3)
✂️ تجزیه تفاضل مربعات
a² − b² = (a+b)(a−b)مثال: x²−25 = (x+5)(x−5)
🔢 معادله درجه اول
ax + b = c → x=(c−b)/aمثال: 3x−5=10 → x=5
📊 نامعادله — نکته کلیدی
ضرب/تقسیم بر منفی → علامت برمیگردد−2x > 4 → x < −2
🎯 ضرب FOIL
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdF=اول×اول | O=اول×آخر | I=آخر×اول | L=آخر×آخر
🚨 نکات طلایی امتحان
- جملات همانند = متغیر و توان یکسان
- x² و x همانند نیستند!
- تفریق: علامت همه جملات داخل پرانتز عوض میشود
- (a+b)² ≠ a²+b² ← حتماً جمله وسط (2ab) را بنویس
- نامعادله: علامت در تقسیم/ضرب منفی برمیگردد
- جواب معادله را در معادله اصلی بررسی کن
- برای تجزیه: عامل مشترک را اول پیدا کن
- درجه کل = بالاترین توان متغیرها