پایه هفتم · دوره اول متوسطه
فصل ۶: سطح و حجم
ریاضی پایه هفتم — آموزش تعاملی محیط، مساحت، حجم و شکلهای هندسی
اندازهٔ سطح و فضای داخل شکلها را حساب کن و رابطهها را کشف کن.
پیشرفت مطالعه
۰ از ۸ بخش یاد گرفتم۰٪
بخشهای آموزشی فصل ششم
محیط شکلها
اندازهگیری دور یک شکل تخت
یاد گرفتم
محیط یک شکل برابر با مجموع طول ضلعهای آن شکل است. برای شکلهایی مثل مستطیل و مربع فرمولهای سادهتری داریم.
📐 فرمولهای محیط
محیط مربع = ۴ × ضلع = 4aمحیط مستطیل = ۲ × (طول + عرض) = 2(a+b)
محیط مثلث = مجموع سه ضلع
محیط دایره = 2πr یا πd
✅ مثال حلشده
مستطیلی با طول ۸ و عرض ۵:محیط = ۲ × (۸ + ۵) = ۲ × ۱۳ = ۲۶ سانتیمتر
💡 نکات امتحانی
• محیط = دور شکل. واحد آن طول (مثل cm) است.• برای دایره، عدد π تقریباً برابر ۳٫۱۴ است.
• واحدها باید یکسان باشند.
محیط مستطیل، مربع و دایره
مساحت مربع و مستطیل
اندازهٔ سطح داخل شکل
یاد گرفتم
مساحت اندازهٔ سطح داخل یک شکل دوبعدی است. واحد مساحت، مربع واحد طول است (مثلاً cm²).
📐 فرمولها
مساحت مربع = a² = a × aمساحت مستطیل = a × b (طول × عرض)
✅ مثال
مربعی با ضلع ۷ سانتیمتر:مساحت = ۷ × ۷ = ۴۹ سانتیمتر مربع
💡 نکات امتحانی
• واحد مساحت همیشه «مربع» است: cm²، m²• محیط و مساحت را با هم اشتباه نکن!
• ضلعها باید واحد یکسان داشته باشند.
مساحت مربع و مستطیل
مساحت متوازیالاضلاع و مثلث
قاعده × ارتفاع و نصف آن
یاد گرفتم
متوازیالاضلاع: چهارضلعی که ضلعهای مقابل موازی و برابرند.
📐 فرمولها
مساحت متوازیالاضلاع = قاعده × ارتفاع = a × hمساحت مثلث = (قاعده × ارتفاع) ÷ ۲ = (a × h) / 2
✅ مثال
مثلثی با قاعده ۱۰ و ارتفاع ۶:مساحت = (۱۰ × ۶) ÷ ۲ = ۳۰ cm²
💡 نکات امتحانی
• ارتفاع عمود بر قاعده است، نه ضلع مایل!• مساحت مثلث = نصف مساحت متوازیالاضلاع.
• ارتفاع ممکن است بیرون شکل باشد.
⚠️ اشتباه رایج
ارتفاع را با ضلع مایل اشتباه نگیر! ارتفاع حتماً عمود بر قاعده است.
فرمول مساحت متوازیالاضلاع و مثلث
مساحت ذوزنقه و لوزی
فرمولهای مساحت شکلهای خاص
یاد گرفتم
📐 فرمولها
مساحت ذوزنقه = ½ × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک) × ارتفاع= (a + b) × h / 2
مساحت لوزی = ½ × قطر بزرگ × قطر کوچک
= (d₁ × d₂) / 2
✅ مثال
ذوزنقه با قاعدههای ۱۰ و ۶ و ارتفاع ۴:(۱۰ + ۶) × ۴ / ۲ = ۳۲ cm²
لوزی با قطرهای ۸ و ۶:
(۸ × ۶) / ۲ = ۲۴ cm²
💡 نکات امتحانی
• در ذوزنقه دو قاعده موازیاند.• در لوزی قطرها عمود منصف هماند.
• فراموش نکن بر ۲ تقسیم کنی!
فرمول مساحت ذوزنقه و لوزی
مساحت دایره
π × شعاع به توان ۲
یاد گرفتم
📐 فرمول
مساحت دایره = π × r²π ≈ 3.14 یا 22/7
✅ مثال
دایرهای با شعاع ۵:S = π × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 cm²
💡 نکات
• شعاع = نصف قطر.• r² یعنی r × r نه ۲r!
• واحد مساحت cm² یا m² است.
⚠️ اشتباه رایج
فرمول محیط (2πr) و مساحت (πr²) دایره را اشتباه نکن!
مساحت دایره
حجم مکعب و مکعبمستطیل
اندازهٔ فضای داخل جسم سهبعدی
یاد گرفتم
حجم اندازهٔ فضایی است که یک جسم سهبعدی اشغال میکند. واحد آن مکعب (cm³ یا m³) است.
📐 فرمولها
حجم مکعب = a³ = a × a × aحجم مکعبمستطیل = طول × عرض × ارتفاع = a × b × c
✅ مثال
مکعبمستطیلی با ابعاد ۴ × ۳ × ۵:V = ۴ × ۳ × ۵ = ۶۰ cm³
💡 نکات
• حجم سهبعدی و واحد آن cm³ است.• مساحت دوبعدی و واحد آن cm².
• سه بُعد را ضرب کن.
⚠️ اشتباه رایج
واحد حجم (cm³) را با واحد مساحت (cm²) اشتباه نکن!
حجم مکعبمستطیل
حجم منشور
مساحت قاعده × ارتفاع
یاد گرفتم
منشور جسمی سهبعدی است که دو قاعدهٔ یکسان و موازی دارد و وجههای جانبی آن مستطیل هستند.
📐 فرمول حجم منشور
V = مساحت قاعده × ارتفاع = Sbase × h
✅ مثال
منشور مثلثی با قاعدهٔ مثلث (قاعده ۶، ارتفاع ۴) و ارتفاع منشور ۱۰:مساحت قاعده = (۶×۴)/۲ = ۱۲
حجم = ۱۲ × ۱۰ = ۱۲۰ cm³
💡 نکات
• مکعبمستطیل هم یک منشور است (قاعدهٔ مستطیلی).• ارتفاع منشور فاصلهٔ بین دو قاعده است.
• اول مساحت قاعده را حساب کن.
حجم منشور = مساحت قاعده × ارتفاع
حجم استوانه
دایرهها بهعنوان قاعده
یاد گرفتم
استوانه مثل یک منشور با قاعدهٔ دایرهای است.
📐 فرمول
V = π × r² × hمساحت قاعده (دایره) × ارتفاع استوانه
✅ مثال
استوانهای با شعاع ۳ و ارتفاع ۱۰:V = 3.14 × 9 × 10 = 282.6 cm³
💡 نکات
• استوانه = منشور با قاعدهٔ دایره.• اول r² را حساب کن، بعد ضربدر π و h.
• اگر قطر دادند، شعاع = قطر ÷ ۲.
⚠️ اشتباه رایج
قطر و شعاع را اشتباه نگیر! شعاع = نصف قطر.
حجم استوانه
محاسبهگرهای سطح و حجم
محاسبهٔ مساحت
محاسبهٔ محیط
محاسبهٔ حجم
تبدیل واحد سطح
آزمون فصل ششم — ۱۰ سؤال
خلاصهٔ سریع فصل ششم
محیط
مجموع طول ضلعها. واحد: cm
محیط مستطیل = 2(a+b)
مساحت مربع/مستطیل
مربع: a² ، مستطیل: a×b
واحد: cm²
مساحت مثلث
(قاعده × ارتفاع) ÷ ۲
ارتفاع عمود بر قاعده
ذوزنقه و لوزی
ذوزنقه: (a+b)h/2 ، لوزی: d₁d₂/2
تقسیم بر ۲ یادت نره!
دایره
محیط: 2πr ، مساحت: πr²
π ≈ 3.14
حجم مکعب/مکعبمستطیل
مکعب: a³ ، مکعبمستطیل: a×b×c
واحد: cm³
حجم منشور
مساحت قاعده × ارتفاع
اول قاعده، بعد حجم
حجم استوانه
V = πr²h
قاعده دایرهای