ریاضی نهم · فصل ۲
عددهای حقیقی
آموزش کامل، مرور سریع و تمرین تعاملی برای دانشآموزان پایه نهم
۰٪
پیشرفت یادگیری
هنوز هیچ موضوعی را تکمیل نکردهای. شروع کن! 🚀
یاد گرفتم
عدد حقیقی چیست؟
مجموعه اعداد حقیقی (ℝ) شامل تمام اعدادی است که میتوانیم روی خط اعداد نمایش دهیم؛ هم گویاها و هم گنگها.
ℝ = Q ∪ Q'
🔍 مثال
۳، −۵، ½، π، √۲، ۰، ۱.۴۱۴... همه عدد حقیقی هستند.
هر عدد گویا یا گنگ، حقیقی است.
√−۱ حقیقی نیست (موهومی است).
یاد گرفتم
عددهای گویا
عدد گویا هر عددی است که بتوان آن را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرجش هر دو صحیح و مخرج ≠ صفر باشد.
Q = { p/q | p,q ∈ ℤ , q ≠ 0 }
🔍 مثال
۳ = ۳/۱ ✓ ۰.۷۵ = ¾ ✓ ۰.۳۳۳... = ⅓ ✓
اعشار تکراری = همیشه گویا
اعشار تکراری = همیشه گویا
اعشار محدود همیشه گویاست.
اعشار متناوب هم گویاست.
یاد گرفتم
عددهای گنگ
اعداد گنگ اعدادی هستند که نمیتوان آنها را به صورت p/q نوشت. اعشار آنها نامحدود و غیر متناوب است.
Q' = ℝ \ Q
🔍 مثال
π = ۳.۱۴۱۵۹۲۶... √۲ = ۱.۴۱۴۲... √۳ ، √۵ همه گنگاند.
√n گنگ است اگر n مربع کامل نباشد.
مجموع گویا + گنگ = گنگ.
یاد گرفتم
محور اعداد
هر عدد حقیقی دقیقاً یک نقطه روی خط اعداد دارد و هر نقطه روی خط دقیقاً یک عدد حقیقی است.
بین هر دو عدد گویا، بینهایت عدد گنگ وجود دارد.
یاد گرفتم
مقایسه و ترتیب اعداد
برای مقایسه دو عدد حقیقی، آنها را روی محور نمایش میدهیم. عدد سمت راستتر بزرگتر است.
a > b ⟺ a − b > 0
🔍 مثال
مقایسه ۳ و √۱۰:
۳ = √۹ و √۱۰ > √۹ پس √۱۰ > ۳
۳ = √۹ و √۱۰ > √۹ پس √۱۰ > ۳
برای مقایسه رادیکالها، هر دو را به توان رسان.
اگر a>0 و b>0 : a>b ⟺ a²>b²
یاد گرفتم
قدر مطلق
قدر مطلق یک عدد، فاصله آن عدد از صفر روی محور اعداد است. همیشه مثبت یا صفر است.
|a| = a اگر a≥0 ، |a| = −a اگر a<0
🔍 مثال
|−۵| = ۵ |۳| = ۳ |−√۲| = √۲ |۰| = ۰
|a| ≥ ۰ همیشه.
|a| = |−a| همیشه.
|a·b| = |a|·|b|
یاد گرفتم
تقریب و گرد کردن
تقریب یعنی یافتن نزدیکترین عدد ساده به یک عدد دقیق، با تعداد مشخصی رقم اعشار.
اگر رقم بعدی ≥ ۵ ← گرد به بالا
🔍 مثال
π ≈ ۳.۱۴ (دو اعشار) √۲ ≈ ۱.۴ (یک اعشار)
۳.۴۵۶ ≈ ۳.۵ (یک اعشار)
۳.۴۵۶ ≈ ۳.۵ (یک اعشار)
≈ نشانه «تقریباً برابر» است.
رقم ۵ و بالاتر → گرد به بالا.
یاد گرفتم
بازهها
بازه مجموعهای از اعداد حقیقی است بین دو عدد a و b. با کروشه (شامل) یا پرانتز (شامل نشده) نمایش داده میشود.
[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}
🔍 انواع بازه
[۲,۵] : از ۲ تا ۵ شامل هر دو
(۲,۵) : از ۲ تا ۵ بدون هیچکدام
[۲,۵) : ۲ داخل، ۵ خارج
(−∞, ۳] : همه اعداد ≤ ۳
(۲,۵) : از ۲ تا ۵ بدون هیچکدام
[۲,۵) : ۲ داخل، ۵ خارج
(−∞, ۳] : همه اعداد ≤ ۳
کروشه [ ] = شامل نقطه.
پرانتز ( ) = شامل نشده.
∞ همیشه با پرانتز میآید.
جمعبندی مفاهیم کلیدی
📐 دستهبندی اعداد
اعداد حقیقی به دو دسته تقسیم میشوند:
- گویا (Q): اعداد صحیح، کسری، اعشار محدود، اعشار متناوب
- گنگ (Q'): رادیکال غیر کامل، π، e و اعشار نامحدود غیر متناوب
ℝ = Q ∪ Q' Q ∩ Q' = ∅
ℕ ⊂ ℤ
ℤ ⊂ Q
Q ⊂ ℝ
Q' ⊂ ℝ
🎯 قوانین قدر مطلق
- |a| ≥ ۰ برای هر a
- |a| = ۰ ⟺ a = ۰
- |−a| = |a|
- |a · b| = |a| · |b|
- |a/b| = |a|/|b| (b ≠ 0)
- |a + b| ≤ |a| + |b| (نامساوی مثلث)
- |a − b| فاصله a و b روی محور است
📏 انواع بازهها
- [a,b] : بسته — هر دو طرف شامل
- (a,b) : باز — هیچطرف شامل نیست
- [a,b) : نیمهباز — چپ شامل
- (a,b] : نیمهباز — راست شامل
- [a,+∞) : x ≥ a
- (−∞,b] : x ≤ b
- (−∞,+∞) : همه اعداد حقیقی = ℝ
🔢 مقایسه عددها
- برای مقایسه رادیکالها: هر دو را به توان ۲ برسان
- √a > √b ⟺ a > b (وقتی a,b > 0)
- اگر a < 0 < b باشد: همیشه b > a
- برای مقایسه کسرها، مخرج مشترک بگیر
- اعداد منفی: هرچه قدر مطلق بزرگتر، عدد کوچکتر
🎓 نکات امتحانی مهم
- هر عدد صحیح، گویا و حقیقی است.
- √n گنگ است مگر n مربع کامل باشد (۱، ۴، ۹، ۱۶، ۲۵...)
- حاصلضرب گویا × گنگ (غیر صفر) = گنگ
- ۰.۳۳۳... = ۱/۳ (گویا) اما ۰.۱۰۱۰۰۱۰۰۰۱... (گنگ)
- |x| = a ⟹ x = a یا x = −a
- |x| < a ⟹ −a < x < a
- |x| > a ⟹ x > a یا x < −a
ابزار محاسبه تعاملی
ابزارهای کاربردی برای درک بهتر مفاهیم فصل ۲
عدد a :
عدد :
اعشار :
عدد a :
عدد b :
a :
b :
نوع :
عدد x :
کوییز تعاملی
امتیاز: ۰ / ۰
🎉
مرور سریع شب امتحان
تعریف
عدد گویا = p/q که p,q صحیح و q≠0
تعریف
عدد گنگ = اعشار نامحدود غیر متناوب
فرمول
قدر مطلق a
|a| ≥ 0 همیشه
فرمول
بازه بسته
[a,b] = {a ≤ x ≤ b}
نکته مهم
√n گنگ است اگر n مربع کامل نباشد
نکته مهم
اعشار متناوب همیشه گویاست
فرمول
مقایسه رادیکال
√a > √b ⟺ a > b
نکته مهم
∞ همیشه با پرانتز ( ) میآید
فرمول
نامساوی مثلث
|a+b| ≤ |a| + |b|
نکته مهم
گویا + گنگ = گنگ (وقتی گنگ ≠ 0)
فرمول
تقریب: رقم ≥ 5 → گرد بالا
3.456 ≈ 3.5
فرمول
فاصله a از b روی محور
d = |a − b|
سؤالات پرتکرار امتحانی
- ❓ آیا √۱۲ گویاست؟ → خیر، چون ۱۲ مربع کامل نیست (√۱۲ = ۲√۳)
- ❓ حاصل |−۳| + |۵| چقدر است؟ → ۳ + ۵ = ۸
- ❓ آیا ۰.۱۲۱۲۱۲... گویاست؟ → بله، چون متناوب است (= ۴/۳۳)
- ❓ بزرگتر از دو عدد √۵ و ۲ کدام است؟ → √۵ > √۴ = ۲ پس √۵ > ۲
- ❓ آیا ۳ عضو بازه (۳,۷] است؟ → خیر، چون پرانتز باز است و ۳ شامل نمیشود