۰٪
پیشرفت یادگیری
هنوز هیچ موضوعی را تکمیل نکردهای. شروع کن! 🚀
۰
مبحث یاد گرفته
۰
سؤال درست
۸
کل مباحث
۱۲
کل سؤالات کوییز
مباحث آموزشی فصل اول
درس ۱
مفهوم مجموعه
مجموعه گروهی از اشیاء یا عناصر کاملاً مشخص و متمایز است که با یک ویژگی مشترک تعریف میشوند. مجموعهها معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی نامگذاری میشوند.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
مثال: مجموعه اعداد طبیعی کوچکتر از ۵:
A = {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3, 4}
- اعضای مجموعه داخل آکلاد {} نوشته میشوند.
- ترتیب عضوها اهمیتی ندارد.
- عضوهای تکراری فقط یک بار شمرده میشوند.
جمعبندی: مجموعه = گروهی از عناصر مشخص با ویژگی مشترک که داخل {} نوشته میشوند.
درس ۱
عضو و نمادهای عضویت
برای نشان دادن اینکه یک عنصر «عضو» یا «غیر عضو» مجموعهای است، از نمادهای ریاضی خاصی استفاده میکنیم.
a ∈ A → a عضو A است
b ∉ A → b عضو A نیست
b ∉ A → b عضو A نیست
مثال: اگر A = {2, 4, 6, 8} باشد:
4 ∈ A (درست) | 5 ∉ A (درست)
4 ∈ A (درست) | 5 ∉ A (درست)
- ∈ به معنای «عضو است» میباشد.
- ∉ به معنای «عضو نیست» میباشد.
- در امتحان دقت کن بین ∈ و ⊆ اشتباه نشود!
جمعبندی: ∈ برای رابطه یک عضو با مجموعه و ⊆ برای رابطه دو مجموعه با هم بهکار میرود.
درس ۱
مجموعه تهی
مجموعهای که هیچ عضوی ندارد را مجموعه تهی میگوییم. مجموعه تهی با نماد ∅ یا {} نشان داده میشود.
∅ = { } → مجموعهای بدون عضو
مثالها:
• مجموعه اعداد طبیعی بین ۲ و ۳ ← ∅
• مجموعه انسانهای دو سر ← ∅
• مجموعه اعداد طبیعی بین ۲ و ۳ ← ∅
• مجموعه انسانهای دو سر ← ∅
- مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است.
- ∅ با {∅} فرق دارد؛ {∅} یک عضو دارد!
- مجموعه تهی منحصربهفرد است.
جمعبندی: مجموعه تهی (∅) هیچ عضوی ندارد و زیرمجموعه همه مجموعههاست.
درس ۲
زیرمجموعهها
مجموعه A زیرمجموعه مجموعه B است اگر هر عضو A در B هم باشد. تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه با n عضو برابر 2ⁿ است.
A ⊆ B ⟺ هر x ∈ A ⟹ x ∈ B
تعداد زیرمجموعه = 2ⁿ
تعداد زیرمجموعه = 2ⁿ
مثال: A = {1, 2} → زیرمجموعهها:
∅, {1}, {2}, {1,2} → ۲² = ۴ زیرمجموعه
∅, {1}, {2}, {1,2} → ۲² = ۴ زیرمجموعه
- هر مجموعه زیرمجموعه خودش است: A ⊆ A
- مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است.
- تعداد زیرمجموعههای سره = 2ⁿ − 1
جمعبندی: A ⊆ B یعنی همه اعضای A در B هستند. تعداد کل زیرمجموعهها = 2ⁿ
درس ۳
اجتماع مجموعهها (∪)
اجتماع دو مجموعه A و B شامل تمام عناصری است که در A یا B (یا هر دو) هستند. نماد آن ∪ است.
A ∪ B = {x | x ∈ A یا x ∈ B}
مثال:
A = {1, 2, 3} و B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2, 3} و B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
- عضوهای مشترک فقط یکبار نوشته میشوند.
- A ∪ ∅ = A همیشه برقرار است.
- A ∪ A = A
جمعبندی: اجتماع = کلیه عناصر هر دو مجموعه (بدون تکرار).
درس ۳
اشتراک مجموعهها (∩)
اشتراک دو مجموعه A و B شامل عناصری است که در هر دو مجموعه وجود دارند. نماد آن ∩ است.
A ∩ B = {x | x ∈ A و x ∈ B}
مثال:
A = {1, 2, 3, 4} و B = {3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4}
A = {1, 2, 3, 4} و B = {3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4}
- اگر A ∩ B = ∅ باشد، دو مجموعه «مجزا» هستند.
- A ∩ ∅ = ∅ همیشه برقرار است.
- A ∩ A = A
جمعبندی: اشتراک = فقط عناصری که در هر دو مجموعه وجود دارند.
درس ۳
تفاضل مجموعهها (−)
تفاضل مجموعه B از A، شامل عناصری از A است که در B نیستند. تفاضل جابجایی ندارد، یعنی A − B با B − A فرق دارد.
A − B = {x | x ∈ A و x ∉ B}
مثال:
A = {1, 2, 3, 4} و B = {3, 4, 5}
A − B = {1, 2} | B − A = {5}
A = {1, 2, 3, 4} و B = {3, 4, 5}
A − B = {1, 2} | B − A = {5}
- A − B ≠ B − A (تفاضل جابجایی ندارد!)
- A − ∅ = A
- A − A = ∅
جمعبندی: A − B یعنی اعضای A که در B نیستند. ترتیب اهمیت دارد!
درس ۲
نمودار ون و نمایش مجموعه
نمودار ون روشی بصری برای نمایش مجموعهها و روابط بین آنهاست. مجموعهها به صورت دایرههای همپوشان رسم میشوند.
- ناحیه مشترک دو دایره = اشتراک (A ∩ B)
- کل دو دایره = اجتماع (A ∪ B)
- فقط دایره A (بدون مشترک) = A − B
جمعبندی: نمودار ون روشی تصویری است که روابط بین مجموعهها را نشان میدهد.
جدول نمادها و روشهای نوشتن مجموعه
📋 جدول نمادهای مجموعهها
| نماد | نام | معنی | مثال |
|---|---|---|---|
| ∈ | متعلق است به | عضویت | 3 ∈ {1,2,3} |
| ∉ | متعلق نیست به | عدم عضویت | 5 ∉ {1,2,3} |
| ⊆ | زیرمجموعه است | زیرمجموعه | {1,2} ⊆ {1,2,3} |
| ⊂ | زیرمجموعه سره | زیرمجموعه واقعی | {1} ⊂ {1,2} |
| ∪ | اجتماع | یکیشدن مجموعهها | A ∪ B |
| ∩ | اشتراک | عناصر مشترک | A ∩ B |
| ∅ | مجموعه تهی | مجموعه بدون عضو | ∅ = { } |
| − | تفاضل | حذف عناصر مشترک | A − B |
| |A| | مقدار مجموعه | تعداد عضوها | |{a,b,c}| = 3 |
روشهای نمایش مجموعه
📝
روش فهرستی (برشمردنی)
در این روش تمام اعضای مجموعه داخل آکلاد نوشته میشوند.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
مجموعه حروف کلمه «سیب»:
A = {س، ی، ب}
A = {س، ی، ب}
- برای مجموعههای کوچک و محدود مناسب است.
- تکرار حذف میشود: {آ، ب، آ} = {آ، ب}
🔤
روش توصیفی (ویژگی مشترک)
در این روش با نوشتن یک شرط یا ویژگی، مجموعه را توصیف میکنیم.
A = {x | x عدد زوج و x < 10}
مجموعه اعداد فرد بزرگتر از ۱۰:
B = {x | x عدد فرد و x > 10}
B = {x | x عدد فرد و x > 10}
- برای مجموعههای بزرگ یا نامحدود مناسب است.
- نماد | یا : به معنای «به طوری که» است.
⭕
روش نمودار ون
روش تصویری با استفاده از دایرههای همپوشان برای نمایش روابط بین مجموعهها.
- مستطیل بیرونی مجموعه مرجع (U) را نشان میدهد.
- ناحیه مشترک = اشتراک دو مجموعه.
🔢
مجموعههای عددی مهم
| نماد | نام | مثال |
|---|---|---|
| ℕ | اعداد طبیعی | 1, 2, 3, ... |
| ℤ | اعداد صحیح | ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... |
| ℚ | اعداد گویا | 1/2, 3/4, −2/3 |
| ℝ | اعداد حقیقی | √2, π, 3.14 |
ترتیب: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
هر مجموعه زیرمجموعه مجموعه بزرگتر است!
هر مجموعه زیرمجموعه مجموعه بزرگتر است!
ماشینحساب مجموعهها
اعضای دو مجموعه را با کاما (,) جدا کرده و وارد کن. ماشینحساب اجتماع، اشتراک، تفاضل و تعداد زیرمجموعهها را محاسبه میکند.
ماشینحساب عضویت
بررسی کن که آیا یک عدد/عبارت عضو مجموعه است یا خیر.
محاسبه تعداد زیرمجموعهها
💡 فرمولهای سریع
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
تعداد زیرمجموعه = 2ⁿ
|A − B| = |A| − |A ∩ B|
∅ ⊆ هر مجموعهای
کوییز تعاملی
🎯
آماده امتحان دادی؟
۱۲ سؤال از مباحث فصل اول · سؤالات تستی چهار گزینهای
هر سؤال با توضیح پاسخ همراه است
۱۲
سؤال
۰
بهترین نمره
متوسط
سطح
نکات طلایی امتحان
🔵 تعریف و مفهوم مجموعه
- مجموعه = گروهی از اشیاء کاملاً مشخص و متمایز.
- مجموعهها با حروف بزرگ و اعضا با حروف کوچک نشان داده میشوند.
- ترتیب و تکرار اعضا در مجموعه اهمیتی ندارد: {1,2,2,3} = {1,2,3}
- دو مجموعه برابرند اگر دقیقاً همان اعضا را داشته باشند.
🟢 عضویت و زیرمجموعه
- ∈ برای عضویت یک عنصر در مجموعه استفاده میشود.
- ⊆ برای رابطه زیرمجموعه بین دو مجموعه استفاده میشود.
- هر مجموعه زیرمجموعه خودش است: A ⊆ A
- مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است: ∅ ⊆ A
- اگر A دارای n عضو باشد، 2ⁿ زیرمجموعه دارد.
مثال: A = {a, b, c} → |A| = 3 → تعداد زیرمجموعه = 2³ = 8
🟠 عملیات روی مجموعهها
- اجتماع (∪): همه عناصر هر دو مجموعه (بدون تکرار)
- اشتراک (∩): فقط عناصر مشترک هر دو مجموعه
- تفاضل (−): عناصر A که در B نیستند (توجه: A−B ≠ B−A)
- |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
- |A − B| = |A| − |A ∩ B|
🟣 نمودار ون
- روشی بصری برای نمایش روابط بین مجموعهها.
- ناحیه مشترک دو دایره = A ∩ B
- کل دو دایره (بدون تکرار) = A ∪ B
- دایره A منهای بخش مشترک = A − B
- مستطیل بیرونی = مجموعه مرجع یا مجموعه کل (U)
🔷 اشتباهات رایج در امتحان
- اشتباه گرفتن ∈ (عضو) با ⊆ (زیرمجموعه)!
- فراموش کردن مجموعه تهی در شمارش زیرمجموعهها.
- تصور اینکه تفاضل جابجایی دارد (A−B ≠ B−A).
- {∅} با ∅ فرق دارد: {∅} یک عضو دارد اما ∅ هیچ عضوی ندارد.
- عضوهای تکراری را شمارش کردن (حذف باید شوند).
فرمولهای سریع برای امتحان
تعداد زیرمجموعه
2ⁿ
n = تعداد اعضا
قانون اجتماع
|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|
تفاضل
|A−B| = |A| − |A∩B|
مجموعههای مجزا
A ∩ B = ∅
هیچ عضو مشترکی ندارند
💪 آماده امتحانی؟ برو کوییز بزن!