پایه هفتم · دوره اول متوسطه
فصل ۸: بردار و مختصات
آموزش تعاملی محور مختصات، نقطهیابی، بردار انتقال و تقارن
نقطهها را روی صفحه پیدا کن، بردارها را بشناس و شکلها را جابهجا کن.
📊 پیشرفت مطالعه
۰ از ۸ بخش۰٪
۱
محور مختصات
صفحهٔ مختصات و محورهای x و y
یاد گرفتم
صفحهٔ مختصات از دو محور عمود بر هم تشکیل شده: محور افقی (x) و محور عمودی (y). محل برخورد آنها مبدأ نام دارد و مختصاتش (۰ , ۰) است.
📐 ساختار صفحهٔ مختصات
• محور افقی = محور x (طولها)• محور عمودی = محور y (عرضها)
• مبدأ مختصات = نقطهٔ (۰ , ۰)
• صفحه به ۴ ناحیه (ربع) تقسیم میشود
💡 نکات امتحانی
• اول x (افقی) بعد y (عمودی) نوشته میشود• سمت راست x مثبت، سمت چپ x منفی
• بالا y مثبت، پایین y منفی
صفحهٔ مختصات — ۴ ناحیه و نقطهٔ A(2,2)
۲
مختصات نقطه
خواندن و نوشتن مختصات
یاد گرفتم
هر نقطه روی صفحهٔ مختصات با یک زوج مرتب مشخص میشود: (x , y)
📐 روش پیدا کردن مختصات
۱. از نقطه خط عمودی به محور x بکش ← عدد x۲. از نقطه خط افقی به محور y بکش ← عدد y
۳. مختصات = (x , y)
✅ مثال
نقطهٔ A(3 , 2) یعنی ۳ واحد به سمت راست و ۲ واحد به سمت بالانقطهٔ B(-1 , 4) یعنی ۱ واحد به چپ و ۴ واحد بالا
⚠️ اشتباه رایج
ترتیب مهم است! اول x بعد y. (3,2) ≠ (2,3)
سه نقطه با مختصاتهای مختلف
۳
بردار انتقال
جابهجایی نقطه با بردار
یاد گرفتم
بردار یک پارهخط جهتدار است که مقدار و جهت جابهجایی را نشان میدهد.
📐 بردار انتقال
بردار (a , b) یعنی:• a واحد در جهت x (راست مثبت، چپ منفی)
• b واحد در جهت y (بالا مثبت، پایین منفی)
نقطهٔ جدید: (x+a , y+b)
✅ مثال
نقطهٔ A(1,2) با بردار (3,1) انتقال یابد:A' = (1+3 , 2+1) = (4 , 3)
💡 نکات
• بردار نشاندهندهٔ «چقدر» و «به کدام سمت» است• همهٔ نقاط شکل به یک اندازه و جهت جابهجا میشوند
انتقال نقطهٔ A(1,2) با بردار (3,1) به A'(4,3)
۴
تقارن نسبت به محورها
قرینهٔ نقطه نسبت به محور x و y
یاد گرفتم
📐 قرینهٔ نقطه
قرینهٔ (x,y) نسبت به محور x: (x , −y)قرینهٔ (x,y) نسبت به محور y: (−x , y)
قرینهٔ (x,y) نسبت به مبدأ: (−x , −y)
✅ مثال
نقطهٔ A(3,2):قرینه نسبت به محور x: (3 , −2)
قرینه نسبت به محور y: (−3 , 2)
قرینه نسبت به مبدأ: (−3 , −2)
⚠️ اشتباه رایج
در قرینهٔ محور x فقط y علامتش عوض میشود (نه x!)در قرینهٔ محور y فقط x علامتش عوض میشود
قرینهٔ A(3,2) نسبت به محور x، محور y و مبدأ
۵
نقطههای خاص روی محورها
نقاطی که x=0 یا y=0 دارند
یاد گرفتم
📐 نقاط روی محورها
• نقطه روی محور x: y = 0 → مختصات: (a , 0)• نقطه روی محور y: x = 0 → مختصات: (0 , b)
• مبدأ: (0 , 0)
✅ مثال
(4 , 0) روی محور x است(0 , −3) روی محور y است
💡 نکته
هر نقطهای که y آن ۰ باشد روی محور x قرار دارد و بالعکس.
۶
جمع و تفریق بردارها
ترکیب دو جابهجایی
یاد گرفتم
📐 جمع بردارها
(a,b) + (c,d) = (a+c , b+d)
هر مؤلفه جداگانه جمع میشود.
✅ مثال
(2,3) + (1,−4) = (3 , −1)
💡 نکته
بردار صفر: (0,0) هیچ جابهجایی نمیدهد.
۷
رسم شکل با مختصات
مثلث و مربع روی صفحهٔ مختصات
یاد گرفتم
با داشتن مختصات رأسها میتوانیم شکلهای هندسی را روی صفحهٔ مختصات رسم کنیم.
📐 مراحل رسم
۱. نقاط را روی صفحه مشخص کن۲. نقاط را به ترتیب وصل کن
۳. شکل نهایی را بررسی کن
✅ مثال
مثلثی با رأسهای A(1,1) ، B(4,1) ، C(2,4)
مثلث ABC روی صفحهٔ مختصات
۸
انتقال شکل با بردار
جابهجایی همهٔ رأسها
یاد گرفتم
برای انتقال یک شکل، بردار انتقال را به تمام رأسها اضافه میکنیم.
📐 روش انتقال شکل
بردار (a,b) را به هر رأس اضافه کن:(x,y) → (x+a , y+b)
اندازه و شکل تغییر نمیکند.
✅ مثال
مثلث با رأسهای (1,1) (3,1) (2,3) با بردار (2,1):(1+2,1+1)=(3,2)
(3+2,1+1)=(5,2)
(2+2,3+1)=(4,4)
💡 نکته
شکل تصویر همنهشت با شکل اصلی است.
انتقال مثلث با بردار (2,1)
📍 مختصاتیار — محاسبهگرها
انتقال نقطه با بردار
قرینهٔ نقطه
جمع دو بردار
تشخیص ناحیه
⭐ آزمون فصل هشتم — ۱۰ سؤال
🌙 خلاصهٔ سریع فصل هشتم
محور مختصات
محور x افقی، محور y عمودی، مبدأ (0,0)
۴ ناحیه (ربع)
مختصات نقطه
اول x بعد y — ترتیب مهم!
(x , y)
بردار انتقال
مقدار و جهت جابهجایی
(x+a , y+b)
قرینهٔ محور x
y علامتش عوض میشود
(x , −y)
قرینهٔ محور y
x علامتش عوض میشود
(−x , y)
قرینهٔ مبدأ
هر دو علامت عوض میشوند
(−x , −y)
جمع بردارها
مؤلفهها جداگانه جمع
(a+c , b+d)
انتقال شکل
بردار را به همهٔ رأسها اضافه کن
شکل تغییر نمیکند