فصل ۸: حجم و مساحت
ریاضی پایه هشتم — آموزش جامع، تعاملی و مرور شب امتحان
📐 پایه هشتم · دوره اول متوسطهحجم یک جسم سهبعدی، میزان فضایی است که آن جسم اشغال میکند. واحد حجم، مکعب واحد طول است.
| واحد | معادل cm³ | معادل m³ |
|---|---|---|
| mm³ | 0.001 | 0.000000001 |
| cm³ | 1 | 0.000001 |
| dm³ (لیتر) | 1000 | 0.001 |
| m³ | 1,000,000 | 1 |
⚡ قانون طلایی تبدیل
- طول: هر پله ×۱۰ یا ÷۱۰
- مساحت: هر پله ×۱۰۰ یا ÷۱۰۰
- حجم: هر پله ×۱۰۰۰ یا ÷۱۰۰۰
منشور جسمی است که دو قاعده موازی و یکسان دارد. حجم = مساحت قاعده × ارتفاع.
✅ مثالها
• مکعبمستطیل ۴×۳×۵: V = 4×3×5 = 60 cm³
• مکعب ضلع ۶: V = 6³ = 216 cm³
• منشور مثلثی (قاعده مثلث: a=6, h=4, H=10): V = ½×6×4×10 = 120 cm³
⚡ نکات
- ارتفاع منشور باید عمود بر قاعده باشد
- ارتفاع قاعده مثلثی ≠ ارتفاع منشور
- مکعبمستطیل = منشور با قاعده مستطیلی
مساحت جانبی = مجموع وجههای کنار. مساحت کلی = جانبی + دو قاعده.
✅ مثال
مکعبمستطیل ۳×۴×۵:
S_جانبی = محیط قاعده × h = 2(3+4) × 5 = 70 cm²
S_کلی = 2(3×4 + 4×5 + 3×5) = 2(12+20+15) = 94 cm²
⚠️ اشتباه رایج
- مساحت جانبی ≠ مساحت کلی (قاعدهها را اضافه کن!)
- واحد مساحت: cm² نه cm³
استوانه = منشور با قاعده دایرهای. قاعدههای آن دو دایره موازی و مساویاند.
✅ مثال: r=5cm, h=8cm
V = 3.14 × 25 × 8 = 628 cm³
S_جانبی = 2 × 3.14 × 5 × 8 = 251.2 cm²
S_کلی = 2 × 3.14 × 5 × (5+8) = 31.4 × 13 = 408.2 cm²
⚡ نکات
- r² در حجم → توان دوم، فراموش نکن
- قطر = 2r ← با شعاع اشتباه نگیر
- استوانه = منشور دایرهای → همان فرمول V = S_قاعده × h
هرم و مخروط یک رأس دارند. حجمشان یکسوم منشور یا استوانهی متناظر است.
✅ مثالها
• هرم مربعی ضلع ۶، ارتفاع ۹: V = ⅓ × 36 × 9 = 108 cm³
• مخروط r=4, h=9: V = ⅓ × 3.14 × 16 × 9 = ≈150.72 cm³
• خط فراز مخروط r=3, h=4: l = √(9+16) = 5 cm
⚠️ مهم!
- ضریب ⅓ را فراموش نکن!
- l (خط فراز) ≠ h (ارتفاع) در مخروط
- S_جانبی مخروط = πrl نه πrh
کره جسمی است که تمام نقاط سطحش از مرکز فاصله یکسان (شعاع r) دارند.
✅ مثال: کره با r=6
V = ⁴⁄₃ × 3.14 × 216 ≈ 904.32 cm³
S = 4 × 3.14 × 36 ≈ 452.16 cm²
⚠️ اشتباه رایج
- ❌ V = ⁴⁄₃ × π × r × 3 ← ✅ V = ⁴⁄₃ × π × r³
- قطر = 2r را با r اشتباه نگیر
در مسائل کاربردی اغلب با اجسامی روبرو میشویم که ترکیب چند جسم ساده هستند.
✅ مثال: استوانهای با سوراخ استوانهای
استوانه خارجی: R=10, h=20 → V₁ = π×100×20 = 2000π
سوراخ داخلی: r=5, h=20 → V₂ = π×25×20 = 500π
حجم جسم = 2000π − 500π = 1500π ≈ 4710 cm³
⚡ مراحل حل
- شکل ترکیبی را شناسایی کن
- هر قسمت را جداگانه محاسبه کن
- بر حسب نوع مسئله جمع یا تفریق کن
- به واحدها دقت کن (cm³ یا m³)
| جسم | حجم | S_کلی |
|---|---|---|
| مکعب | a³ | 6a² |
| مکعبمستطیل | l×w×h | 2(lw+wh+lh) |
| استوانه | πr²h | 2πr(r+h) |
| مخروط | ⅓πr²h | πr(r+l) |
| هرم | ⅓Sh | جانبی+S_قاعده |
| کره | ⁴⁄₃πr³ | 4πr² |
🧮 محاسبهگر حجم و مساحت
📦 مکعبمستطیل
⊙ استوانه
○ کره
△ مخروط
▽ هرم مربعی
🔄 تبدیل واحد حجم
🌙 مرور سریع شب امتحان
📦 مکعب
V = a³S = 6a²همه اضلاع = a | شش وجه مربعی مساوی
▭ مکعبمستطیل
V = l × w × hS = 2(lw + wh + lh)منشور با قاعده مستطیلی
▭ منشور (عمومی)
V = S_قاعده × HS_جانبی = محیط قاعده × HH = ارتفاع منشور (عمود بر قاعده)
⊙ استوانه
V = πr²hS = 2πr(r + h)منشور با قاعده دایرهای | d = 2r
△ هرم
V = ⅓ × S_قاعده × hیکسوم منشور متناظر. ضریب ⅓ را فراموش نکن!
▽ مخروط
V = ⅓πr²hS_جانبی = πrll² = r² + h² (فیثاغورس) | l = خط فراز
○ کره
V = ⁴⁄₃πr³S = 4πr²r³ نه r×3! | نیمکره: V = ²⁄₃πr³
🔄 تبدیل واحد
1m³ = 1,000,000 cm³1L = 1dm³ = 1000cm³طول ×10 | مساحت ×100 | حجم ×1000 هر پله
🚨 نکات طلایی
- هرم و مخروط: ضریب ⅓ حتمی!
- l (خط فراز مخروط) ≠ h (ارتفاع)
- S_جانبی مخروط = πrl نه πrh
- واحد حجم = cm³ نه cm
- واحد مساحت = cm² نه cm³
- π ≈ 3.14 یا 22/7
- قطر = 2r را با r اشتباه نگیر
- مکعبمستطیل S_کلی = 2(lw+wh+lh)